Milyen hosszú intervallum kell a prímszámok folyamatos fogyásához?

Tudjuk, hogy az egyre nagyobb számok között egyre ritkábbak a prímek.

Egy nagy n számhoz keressük azt a legkisebb h intervallum hosszt, amelynél minden h és n közötti m számra igaz, hogy az előtte lévő h hosszú intervallumban több prím van, mint az utána lévőben. Azaz

primepi(m)-primepi(m-h) > primepi(m+h)-primepi(m)

minden m-re, h <= m <= n, ahol primepi(x) a prímszámláló függvény, a prímek száma x-ig.

Pl. n=1000 => h=440, n=10000 => h≈2960, n=100000 => h≈17850, ...

Az n => h összefüggés, tendencia érdekelne, ami alapján nagy n-ekre is meg lehetne becsülni h értékét.

Itt látható, hogy n=1000, h=440 esetén a különbség függvény (legalább) 1000-ig pozitív:

[link]

Ha n=10^1000, h=?