Gömbről síkra vetítés torzítása?

Ha r eleve "gömbi távolság", akkor simán r=theta, ugyanis a gömbsapka szögének a félszöget szoktuk venni, tehát a tengely vs. a középpontot peremmel összekötő egyenesek szögét.

A tan'(theta) = 2 úgy jött ki, hogy belegondoltam, hogy x-től a theta szöget nyitva a síkon milyen messze kerülök x-től, amire a válasz tan(theta): [link]

Tehát ha y=theta és z=theta+epszilon, akkor a távolságuk epszilon, a vetületeik távolsága pedig tan(theta+epszilon) - tan(theta). A torzítási kritériumod a kettő aránya, (tan(theta+epszilon)-tan(theta))/epszilon ami a derivált tan'(theta) definíciója. Úgyhogy a feladat arra egyszerűsödik, hogy mely thetánál éri el ez a derivált az általad meghatározott 2-es küszöböt.

#2: "tan'(theta) < 2, azaz kb. 0.785 radián széles gömbsapkán"

Más néven pi/4 vagy 45°. És nem "széles", hanem "sugarú" gömbsapka.

A sapkán belül a lokális nagyítás maximális értéke végig kisebb mint 2, így a globális "nagyítás" (sok kis lokális nagyítás összege) is kisebb, mint 2.

Az meg, hogy a sapkán belül a lokális nagyítás kisebb, mint 2 abból jön, hogy a ferdeségből adódó nagyítás kisebb, mint sqrt(2), és a nyújtásból adódó nagyítás is kisebb, mint sqrt(2), és ezek szorzata adja a nagyítást. theta = pi/4-nél éri el mind a kettő érték a sqrt(2)-t.

6: jogos. A főkörre merőleges irányban (szélességi kör mentén) a sin(theta) sugarú körből tan(theta) sugarú lesz, tehát itt deriválni se kell, tan(theta)/sin(theta) az ezirányú nagyítás, ami egy tan'(theta)-nál lassabban növő függvény, úgyhogy sose lesz gond. A főkör mentén a legnagyobb a torzítás, az a szűkkeresztmetszeted.

Ezt amúgy gnomonic projection-nek hívják, és ha megnézed rá ezt a Tissot indicatrixnak nevezett valamit, láthatod hogy főkőrirányban nyújtja el az indikátorokat.