Mi a valószínűsége annak, hogy 3 embernek ugyanarra a napra és hónapra esik a születésnapja egy 34 fős társaságban?

A számolás során feltételeznünk kell, hogy minden hónap/nap párosítás valószínűsége azonos (ez a való életben egyébként nincs így, de nagyságrendileg nem változtat a dolgon), valamint pontosítani kellene, hogy mire vagy kíváncsi; én úgy értelmezem, hogy a 34 fős társaságban legyen legalább 3 ember, akinek azonos napra esik a születésnapja, és több hármas/négyes/... csoport is megengedett.

Ha pontosan ki akarjuk számolni, az nagyon körülményes. "Egyszerűbb" úgy számolni, hogy megnézzük, hogy hány esetben nem valósul meg a dolog, és azt kivonni az összes esetből.

Összes eset: 365^34 = 1312071165860730375364632264937686245695959856453731796377245458425022661685943603515625

Ha mindenkinek különböző a születésnapja, arra a lehetőségek száma (szökőévvel most nem foglalkozom):

365*364*...*332 = 268558840069863909955968909305693850887308034094440268840462024840573675267686400000000

Ha 1<=k<=17 darab azonos nap ("nappáros") van a születésnapok között, akkor az a következő képlettel számolható:

comb(365,k) * (product( comb((36-2i),2) ) i=1-től k-ig ) * (365-k)!/(331+k)!

A képlet alapján az esetek külön-külön kiszámolhatóak, az eredményeket összeadva kapjuk a "rossz esetek" számát.

Sajnos nem tudtam a WolframAlpának úgy beadni, hogy legyen kedve értelmezni, de ha manuálisan beírjuk k helyére a számokat, valamint a "product" részt kiírjuk neki számonként (például k=3 esetén comb(34,2)*comb(32,2)*comb(30,2)), akkor hajlandó kiszámolni a műveleteket. Aztán hogy ezeket a számokat mivel/hogyan lehet összeadni, arra nincs sok ötletem.

Aztán ha az eredményt elosztjuk az összes esettel, akkor annak a valószínűségét kapjuk, hogy NEM valósul meg, a kérdéses valószínűséghez a kapottat 1-ből (100%-ból) kell kivonni.

"Mi a valószínűsége annak, hogy 3 embernek ugyanarra a napra és hónapra esik a születésnapja egy 34 fős társaságban?"

Hanyagoljuk a szökőéveket. Tekintsük úgy a feladatot, hogy pontosan 3-an születnek 1 napon.

Az összes esetek száma 365^34. (Ahogy már mások is írták.)

A kedvező esetek száma:

- kiválasztunk egy napot:365

- kiválasztunk 3 embert, aki ezen a napon született 34*33*32/(3*2*1)

- a maradék 31 ember más napon születik 364^31

p=365*34*33*32*364^31/(6*365^34)=0,041

Ha megengedjük, hogy 3-nál többen is szülessenek egy napon, az alig befolyásolja az eredményt. Mert pl. annak a valószínűsége, hogy pontosan 4-en szülessenek 1 napon p=365*34*33*32*31*364^30/(24*365^34)=0,00088.

Ha akarjuk, akkor ezt adjuk hozzá az eredményhez és akkor 0,042 lesz.

De utána már tényleg meredeken csökkennek a valószínűségek. 5-re

p=365*34*33*32*31*30*364^29/(120*365^34)=0,000014

Vettem a fáradságot, és egyesével bepötyögtem a WolframAlphának (minden eredmény pontos, normálalakban, valamiért nem normálalakban nem akarta kiírni...):

k=0 (amikor nincs azonos születésnap): 2,685588400698639099559689093056938508873080340944402688404620248405736752676864 * 10^86

k=1:

4,537997267445591972448751750617296697222283347198222615045156504083187705577472 * 10^86

k=2:

3,379649616596116544045917219678947690423802612928406031625221660698590243192832 * 10^86

k=3:

1,46721315690549969726544310435163896739955502657071519337023096048292091396096 * 10^86

k=4:

4,13885502470357377288311562272328007221665522420694285891005450046674705580032 * 10^85

k=5:

8,006713589456318310636979627292059663514362784924145411581950670545790435328 * 10^84

k=6:

1,092904525563770451897035794823248500064275038891723112560147569273312641024 * 10^84

k=7:

1,06703696282853328143793435589252072491482474211322079036937484574021648384 * 10^83

k=8:

7,47555394312025529031001208036795493118793145285811025701258188387319808 * 10^81

k=9:

3,73777697156012764515500604018397746559396572642905512850629094193659904 * 10^80

k=10:

1,3153467348598689660369522722055052664846800210307525378907768710627328 * 10^79

k=11:

3,18172655162807219323133058933282773126278261333860927559969950203904 * 10^77

k=12:

5,101893887450261534335952840038061959750817601563367643089897160704 * 10^75

k=13:

5,133837766888679987592081346192146426403998033773513952125343744 * 10^73

k=14

2,97613783587749564498091672243022981240811480218754432007266304 * 10^71

k=15:

8,60155443895229955196796740586771622083270174042642867073024 * 10^68

k=16:

9,29562799598591450140630483343052905709585922956746614272 * 10^65

k=17:

1,57126910006523233627557552965357151066529060675582592 * 10^62

Ezután a következőt csináltam: mindegyik szorzatot "közös nevezőre", vagyis közös karakterisztikára hoztam, ez 10^60 lett nálam, a mantisszáknál pedig csak "levágtam" (például a k=16 esetnél a mantissza 929562 lett, nem pedig 929563, ami a kerekítési szabálynak felelne meg). Ezeket összeadtam, majd az eredményt megszorozva 10^60-nal kapjuk a kedvező esetek számát, ami így ez lesz:

1257647579031357221921028678 * 10^60

Így a valószínűség:

1257647579031357221921028678 * 10^60 / 365^34 =~ 0,9585 = 95,85%

Tehát ekkora a valószínűsége, hogy NEM lesz 3 azonos születésnapos, így pedig 4,15% annak a valószínűsége, hogy lesz.

Ha valaki pontosabb (avagy a legpontosabb) eredményre vágyik, ez alapján már könnyebben ki tudja számolni. Viszont úgy látszik, hogy nagyságrendileg ez a 4%-os valószínűség valódinak tűnik.