A savanyú só pH számítási képletének levezetésében egy kis logikai bökkenőre bukkantam: valaki meg tudná magyarázni, hogy miért az jön ki, ami le van írva ?

Adott egy MHA összegképletű savanyú só (kiváló példa a NaHCO₃ mondjuk), melynek a pH-ját a klasszikus módon kívánnám levezetni: reakcióegyenletek, egyensúlyi állandók, töltés- ill. anyagmérlegek segítségével. Kezdem is írni:

Tudjuk, hogy a savanyú só (MHA) az alábbi egyenlet szerint disszociál fémionra és a megfelelő savanyú só anionra:

MHA ⇋ M⁺ + HA⁻

Ezek után, mivel tudjuk, hogy ez a savanyú só amfoter; felírhatjuk viselkedését savként és bázisként is, melyek alá közvetlen oda írtam a megfelelő egyensúlyi állandókat (I. és II.):

H₂A ⇋ H⁺ + HA⁻

I. K₁ = [H⁺][HA⁻]/[H₂A]

HA⁻ ⇋ H⁺ + A²⁻

II. K₂ = [H⁺][A²⁻]/[HA⁻]

Ezek után írnám fel a töltésmérleget, melynek lényege, hogy a pozitív és negatív töltésű ionok összege kiegyenlíti egymást. Igenám, de amit én kapnék logikusan egyenleteknek (III/a, III/b) az nem ugyanaz, mint amit a tanár úr a diára felírt (IV.):

III/a [H⁺] + [M⁺] = [HA⁻] + [A²⁻]

Tudom, hogy már ez sántít, mert két pozitív töltést nem 3 negatív egyenlít ki. Szerintem akkor annyit tudnék orvosolni a problémán, hogy megkettőzöm a hidrogénionok sztöchiometriai számát:

III/b 2[H⁺] + [M⁺] = [HA⁻] + [A²⁻]

Ezzel szemben a tanár úr valahogy kihozta azt, hogy a kétszeresen negatív töltésű spéciesz sztöchiometriai számát kéne megduplázni az alábbiak szerint:

IV. [H⁺] + [M⁺] = [HA⁻] + 2[A²⁻]

Kérdésem az lenne: MIÉRT ? Hiszen +2 =/= -5 !!!

Nem értem, hogy miért a jobb oldalon kettőzzük a teljesen disszociált forma számát. Honnan jön ez ki ? Az a probléma, hogy a levezetés további részéhez szükségem lenne erre a nélkülözhetetlen információra, ugyanis ezután ebbe az egyenletbe kellene beletennem az anyagmérlegemet, melyet a fémionra kifejezve, melyhez tulajdonképpen az összes spéciesz koncentrációja hozzájárul - névileg az eldisszociálatlan H₂A savmolekula, a savanyú só spéciesz HA⁻, valamint a teljesen eldisszociált A²⁻ spéciesz (V.):

V. [M⁺] = [H₂A] + [HA⁻] + [A²⁻]

Az ebből az anyagmérlegből kifejezett [M⁺] koncentráció összefüggésemet kéne ugye a továbbiakban beletennem a IV. kifejezésbe az alábbiak szerint (VI.):

VI. [H⁺] + [H₂A] + [HA⁻] + [A²⁻] = [HA⁻] + 2[A²⁻]

és itt a tanulsága ennek a kis levezetési résznek, hogy a [HA⁻] spéciesz lehúzható, és ha én rosszul, azaz nem teszem oda a kettes sztöchiometriai együtthatót az [A²⁻] spécieszhez, akkor az is kiesne az egyenletemből, ami viszont nem történhet meg, (!) mert így tudom megkapni azt az összefüggést a hidrogénion-koncentrációra rendezve (VII.):

VII. [H⁺] = [A²⁻] - [H₂A]

Innen az egyensúlyi állandókból a két spéciesz koncentrációját kifejezve (I. és II.) kifejezhető a hidrogénion-koncentráció az alábbiak alapján:

I. K₁ = [H⁺][HA⁻]/[H₂A] ⇔ [H₂A] := [H⁺][HA⁻]/K₁

II. K₂ = [H⁺][A²⁻]/[HA⁻] ⇔ [A²⁻] := K₂[HA⁻]/[H⁺]

Melyből előáll VIII.:

VIII. [H⁺] = K₂[HA⁻]/[H⁺] - [H⁺][HA⁻]/K₁

Beszorozván mindkét oldalt a [H⁺], kapjuk IX.:

IX. [H⁺]² = K₂[HA⁻] - [H⁺]²[HA⁻]/K₁

Hozzáadván a [H⁺]²[HA⁻]/K₁ tagot mindkét oldalhoz, adódik X/a és X/b:

X/a [H⁺]² + [H⁺]²[HA⁻]/K₁ = K₂[HA⁻], aminél az első két tagot összevonva:

X/b [H⁺]² (1 + [HA⁻]/K₁) = K₂[HA⁻]

Ahol utolsó lépésként a hidrogénion-koncentrációra rendezve adódik XI.:

XI. [H⁺] = √(K₂[HA⁻])/(1 + [HA⁻]/K₁)

Még ezt lehet picit pofozgatni: a gyök alatti tag nevezőjéből K₁ a számlálójába felhozható XII.:

XII: [H⁺] = √(K₁K₂[HA⁻])/(K₁ + [HA⁻])

Innen pedig ha feltesszük, hogy a savanyú só koncentrációja c, akkor egyszerűen írható összefüggésünk XIII.:

XIII. [H⁺] = √(K₁K₂ c)/(K₁ + c)

Ha a c >> K₁, akkor pedig végül megkapjuk XIV.:

XIV. [H⁺] = √K₁K₂

Kérdésem, tehát hogy hogyan jön a IV. kifejezésbe a kettes együttható ? Azt hogyan lehet megmagyarázni, mert sehogy nem tudom érteni...

További kérdésem csak az lenne, hogy az utolsónak megkapott XIII. összefüggésben még a számlálóba szokás egy + K₁Kₕ tag (ahol Kₕ a vízállandó), mely a vízállandóval való plusz számítási tagot jelenti és így az összefüggés pontosan így nézne ki XV.:

XV. [H⁺] = √(K₁K₂ c + K₁Kₕ)/(K₁ + c)

Kérdésem: a levezetésbe hogyan lehetne még ezt a vízállandós plusz tagot beleinvolválni ?

Válaszokat előre is megköszönök, aki tud benne segíteni !