Mikor feszíti ki egy vektorrendszer a teljes alteret?

Konyhanyelven: a vektoraid akkor feszítik ki R3-at, ha minden R3 beli pont (pl. [1, 1, 1] vagy [3.01, 0.00023, -4.123]) felírható a vektoraid lineáris kombinációjaként, más szóval súlyozott összegeként.

Ehhez minimum 3 vektor kell. Ha 3 lineárisan független vektorod van, akkor elég is. Ha nem lineárisan függetlenek (például a harmadik vektor felírható az első és második vektor különbségeként) akkor pedig biztosan nem feszítik ki a teljes R3 teret, csak annak egy 2 dimenziós alterét.

Ha 4 vagy több vektorod van, és azok között van 3 lineárisan független, akkor jó vagy. Az első válasza ad egy módszert arra, hogy hogyan döntsd el ezt (soronként vagy oszloponként betöltve egy mátrixot csinálsz belőlük, és kiszámolod a mátrix rangját).

Példa: az a=[2, 0, 0], b=[0, 1, 1], c=[1, 1, 1] vektorok bár hárman vannak, nem feszítik ki az R3-at, mert vannak olyan vektorok, pl v=[2, 3, 4] amit akkor se tudsz felírni x*a + y*b + z*c alakban semmilyen x, y, z kombinációval, ha a fejed tetejére állsz. Ez azért van, mert a, b, c nem lineárisan függetlenek (c = 0.5*a + b). Ha lenne egy negyedik vektorod, pl d=[0, 0, 1], akkor (a,b,c,d) már kifeszítené az R3-at, mert van köztük 3 lineárisan független vektor: az a,b,c kivételével bármelyik másik hármas.