Van homeomorfizmus a valós számok hatványhalmaza és a valós -> valós függvények között?

A kérdésedre a válaszom az, hogy igen, van homeomorfizmus a valós számok hatványhalmaza és a valós -> valós függvények között. Egy lehetséges ilyen homeomorfizmus a következő:

Legyen P a valós számok hatványhalmaza, és legyen F a valós -> valós függvények halmaza. Definiáljuk az f : P -> F függvényt úgy, hogy minden A eleme P-re:

f ( A ) ( x ) = { 1 , ha x ∈ A 0 , ha x ∉ A {\displaystyle f(A)(x)={\begin{cases}1,&{\text{ha }}x\in A\0,&{\text{ha }}x\notin A\end{cases}}}

Ez a függvény egy homeomorfizmus P és F között, mert:

f bijekció, mert minden A eleme P-hez egyértelműen hozzárendel egy f ( A ) eleme F-hez, és minden g eleme F-hez egyértelműen hozzárendel egy g -1 ( 1 ) eleme P-hez, ahol g -1 a g függvény inverze.

f folytonos, mert ha A n {\displaystyle A_{n}} egy konvergens sorozata P-ben, amelynek határértéke A, akkor f ( A n ) {\displaystyle f(A_{n})} is konvergens sorozata F-ben, amelynek határértéke f ( A ). Ez azért igaz, mert ha x egy tetszőleges valós szám, akkor f ( A n ) ( x ) {\displaystyle f(A_{n})(x)} vagy 0 vagy 1 értéket vesz fel minden n-re, és ha n elég nagy, akkor ez az érték megegyezik f ( A ) ( x ) {\displaystyle f(A)(x)} értékével. Tehát f ( A n ) {\displaystyle f(A_{n})} pontonként konvergál f ( A ) {\displaystyle f(A)} -hoz, ami azt jelenti, hogy folytonos.

f inverze is folytonos, mert ha g n {\displaystyle g_{n}} egy konvergens sorozata F-ben, amelynek határértéke g, akkor f -1 ( g n ) {\displaystyle f^{-1}(g_{n})} is konvergens sorozata P-ben, amelynek határértéke f -1 ( g ). Ez azért igaz, mert ha x egy tetszőleges valós szám, akkor g n ( x ) {\displaystyle g_{n}(x)} vagy 0 vagy 1 értéket vesz fel minden n-re, és ha n elég nagy, akkor ez az érték megegyezik g ( x ) {\displaystyle g(x)} értékével. Tehát g n {\displaystyle g_{n}} pontonként konvergál g -hez, ami azt jelenti, hogy az inverze is folytonos.

Igen, létezik homeomorfizmus a valós számok hatványhalmaza és a valós számok közötti függvények halmaza között. Az ilyen homeomorfizmus az alábbiak szerint definiálható:

Tekintsünk a valós számok hatványhalmazát, ami egy olyan halmaz, ahol az elemek valós számokból állnak, például:

�

�

=

{

�

:

�

→

�

}

R

R

={f:R→R}

Ez a halmaz tartalmaz minden olyan valós számokkal értelmezett függvényt, amelyek valós számokat képeznek valós számokra.

A homeomorfizmusnak az alábbiak szerint kell megfelelnie:

Topológia: Mind a valós számok halmaza, mind a valós számok hatványhalmaza ugyanazt a topológiát hordozza, például a valós számok esetében a szokásos euklideszi topológiát.

Kölcsönösen egyértelmű leképezés: A homeomorfizmus egy kölcsönösen egyértelmű leképezés, ami az egyik teret a másikba rendel, és visszafele is.

Az egyik ilyen homeomorfizmus példa lehet a függvényekre az alábbiak szerint:

�

:

�

→

�

�

F:R→R

R

ahol

�

F egy olyan függvény, ami egy valós számhoz rendel egy valós számokkal értelmezett függvényt. Például

�

(

�

)

F(x) lehet olyan függvény, ami minden valós számhoz hozzárendel egy konstans függvényt, amely értéke mindig

�

x. Tehát

�

(

�

)

(

�

)

=

�

F(x)(t)=x minden

�

t valós számra. Ez egy olyan leképezés, amely a valós számok halmazát a valós számok hatványhalmazába képezi, és visszafele is végrehajtható, például

�

−

1

(

�

)

=

�

(

0

)

F

−1

(f)=f(0).

Ez a példa bemutatja, hogy lehetséges egy homeomorfizmust definiálni a valós számok és a valós számok hatványhalmaza között. A pontos definíció és a leképezés részletei azonban változhatnak az alkalmazott topológia és a konkrét alkalmazás függvényében.