Miért kell a b változó az egyenes egyenletéhez?

Az egyenesnek nemcsak iránya, hanem síkbeli pozíciója is van az adott viszonyítási rendszerben.

Ha nem így lenne, akkor nem tudnánk egy koordináta rendszerben több párhuzamos egyenest elhelyezni.

"ha ismert az irány és egy pont"

Ha ismert az irány, akkor a 2-ben szereplő y=ax+b egyenletben ismert lesz "a". De a ponton nem fog átmenni az y=ax egyenes. Szinte sosem. Ahhoz kell a "b" is.

Egyébként jól látja a kérdező, nem "kell", mert más adatok ismeretében is meg lehet határozni az egyenest.

Amikor a diákok tanulják a lineáris függvényeket, akkor azt tanulják, hogy minden esetben x|->m*x+b alakban kell keresnünk az egyenes hozzárendelési szabályát, ahol m az egyenes meredeksége, b pedig az a szám, ahol az egyenes metszi az y-tengelyt (illetve ez az x=0-nál felvett érték).

Amikor ismernek két pontot, akkor abból ki tudják számolni a meredekséget, ez azt jelenti, hogy az m*x+b képletből ismerik az m értékét. Viszont -ahogy erre már többen is utaltak-, a meredekség önmagában nem határozza meg az egyenest, ezért kell a b értékét is megfelelően meghatározni úgy, hogy a keresett egyenes illeszkedjen az ismert pontokra.

Aztán amikor az ember középiskolába ér, ott már tanul más megoldási módokat is, mint például hogy hogyan lehet az egyenes egyenletét vektorok segítségével meghatározni. Abban az esetben már nem az általános iskolás alakból indulunk ki, és sokszor nem is érdekel minket, hogy ezek az egyenesek amúgy hol metszik a tengelyeket.

> Ha már megvan a két pont meg a meredekség, akkor már tudom az egészet.

Sőt, akkor már túl jól is tudod! Olyan, mintha egy helyett kettő karórád lenne. Ha egy karórád van, mindig tudod az időt, ha meg kettő, akkor sose...

Igazából egy egyeneshez elég tudni két különböző pontját, vagy egy pontját és a meredekségét (ha van neki). Két pontot és a meredekséget tudni már túl sok adat.

A viccet félretéve, igazából az igaz, hogy az egyenesek egy két dimenziós térben laknak (a Möbius-szalagon, lásd [0]), így két darab valós számmal tengernyi módon fel tudod írni majdnem az összes egyenest. (Az összeset is fel lehet írni, de úgy hogy "szép" is legyen, úgy nem.)

Például a meredekség 'a', és az y tengellyel tengellyel vett metszéspont 'b' az két valós szám, és az

: e(x) := ax + b

majdnem az összes egyenest kiadja a síkon, csak a függőlegeseket nem.

Ezért gyakran 3 számmal vannak megadva az egyenesek, ekkor egy csomó egyenes többször is fel van írva. Lásd a wiki [1].

[0] : [link]

[1] : [link]