Lehet-e egy prímszám transzcendens hatványa egész szám?

Vegyük a log₂3-at.

Tegyük fel hogy log₂3 racionális, azaz felírható p/q alakban. Ebben az esetben:

log₂3 = p/q

2^(log₂3) = 2^(p/q)

3 = 2^(p/q)

3^q = 2^p

Ez nem lehet igaz. 3 egész számú hatványa mindenképpen páratlan lesz, 2 egész számú hatványa meg mindenképpen páros lesz. (pontosabban p=0 esetén lehet ugyan páratlan is, hiszen 2^0=1, de akkor meg a 3^q=1 egyenletet megoldva azt fogjuk kapni, hogy q=0, így p/q-ra egy 0/0-t kapnánk.)

Ergo log₂3 biztos, hogy irracionális.

~ ~ ~

Most azt kell belátnunk, hogy log₂3 nem csak hogy irracionális, de transzcendens szám is.

Ehhez vegyük elő a Gelfond–Schneider-tételt. Ennek a levezetése meghaladja jelen válasz kereteit – meg lehet, hogy a tudásszintemet is –, de a tétel alapján bizonyított, hogy minden olyan a-ra és b-re, ahol a egy 0-tól és 1-től különböző algebrai szám, valamint b egy irracionális algebrai szám, a^b mindenképpen transzcendens szám lesz.

Ez alapján nézzük a 2^(log₂3)-at. 2 algebrai szám, és különbözik 0-tól és 1-től. Ha log₂3 irracionális, de nem transzcendens lenne, akkor 2^(log₂3)-nak is transzcendensnek *kell* lennie. De mivel 2^(log₂3)=3, és ugye a 3 nem transzcendens szám, így log₂3 nem lehet irracionális algebrai szám.

Ergo log₂3 csak transzcendens szám lehet.

És mivel 2 prím, a log₂3 meg transzcendens szám, és 3^(log₂3)=3, ami egész, így a kérdésedre a válasz igen, lehet egy prímnek egy transzcendens hatványa egész szám.

#4

[link]

[link]

+

[link]

+

Ha már WolframAlpha: [link]

Márpedig a 2 az egy algebrai szám. Ha a log₂3 algebrai szám (és irracionális, amit fentebb bizonyítottunk), akkor 2^(log₂3)-nak transzcendensnek kell lennie. De nem az, a 3 nem transzcendens szám.

Ez matematikailag egy korrekt indirekt bizonyítás, egy létező tételre alapozva. Ha nem, akkor kellene nekem valamilyen konkrét érv, hogy miért hibás a bizonyítás. (Hogy most a WolframAlpha mit mond és mit nem, az szerintem nem igazán releváns. Semmi sem igazolja, hogy tévedhetetlen lenne, és minden összefüggést, tételt minden szempontból figyelembe venne.)

Csak a wolframhozhoz hozzászólva: egyik kedven matematikus youtuberem (redpenbalckpen) olyan problémákat is szokott megoldani, amire a wolfram hibás eredményt ad…

Szóval nem alapoznék a wolframra…