KOMPLEX számsíknál hogyan kell elképzelni a különbséget egy sima (x,y) síkhoz képest?

"például az (x,y) kordináta sík az teljesen egyenértékű az x-re és y-ra"

csak annyira egyenértékű, amennyire egy függvény és az inverze egyenértékű. azaz semennyire.

Nagyjából úgy képzeld el, mintha lenne még egy tengelyed a “z” irányba.

Csak hát máshogy viselkedik.

Vegyél fel egy pontot a valós-képzetes síkon és kezd el szorozgatni (i)-vel.

Mi lett az eredményed?

A valós (R^2; +, {c*}) koordinátasík izomorf a komplex (C;+,{c*}) affin síkkal, konkrétan egy affinitás (kollineáció) köztük (a,b)->a+bi

Ez azt jelenti, hogy geometriailag ugyanúgy viselkedik a kettő, bizonyos kérdéseket a valós koordinátasíkon, bizonyos kérdéseket a komplexen érdemes vizsgálni (lásd pl. Napóleon-tétel, meg az általánosításai).

Ugyanakkor mint algebrai struktúrák, az (R^2; +,-,*) és a (C; +,-,*) struktúrák *nem* izomorfak, amiért R^2 nem nullosztómentes, például (1,0)*(0,1)=(0,0), de a (C,+,-,*) struktúra test, amiért nullosztómentes, az izomorfizmusok pedig tartják a nullosztómentességet.

Tehát összességében: a megfelelő dimenziós valós koordinátaterek a megfelelő dimenziós komplex koordinátaterekkel, mint affin terek, és mint R feletti vektorterek, izomorfak, és így geometriailag és lineáris algebrai szempontból ugyanúgy viselkednek, algebrai szempontból nézve viszont a két struktúra nagyon különböző.

A valós számtestből a komplex számtest algebrailag például az R/(x^2+1) faktorizációval származtatható. Származtatható úgy is, hogy képezzük a valós (a,b) párokat, és ezeken a műveleteket a megfelelő módon definiáljuk, és akkor kiderül, hogy az (a,b) pár pontosan az a+bi komplex számnak felel meg. Származtatható még a valósból úgy is a komplex számtest, hogy a valós számtest algebrai lezártja. Egy K testet akkor nevezünk algebrailag zártnak, ha minden K[x]-beli nemkonstans polinomnak van gyöke K-ban. Másképp fogalmazva, minden nemkonstans K[x]-beli fogalom lineáris tényezők szorzatára bomlik K-ban. Azt érdemes meggondolni, hogy igaz-e, hogy az algebrai lezárt minden K[x]-beli polinom felbontási teste-e az előbbi gondolat nyomán. A válasz az, hogy nem. Általában igaz az, hogy minden testnek van az izomorfiai erejéig egyértelmű algebrai lezártja, sőt még az is igaz, hogy ha az L,L' a K test algebrai lezártjai, akkor van olyan L->L' gyűrűizomorfizmus, amely K elemeit fixen hagyja.

Amit #3 ír, az korrekt. Feltéve, hogy érted az izomorfizmust, az algebrai test fogalmát, a halmazelmélet bizonyos részeit és főleg a térfogalmat.

Ha nem érted ezeket, szakirányú egyetemeken oktatják. Ha ettől függetlenül szeretnél valami képet kapni, akkor baj van. Mégpedig az, hogy leírhatom az idézetthez hasonlóan, talán más részeket kiemelve, és nem érted. Vagy leírhatom pongyolán, akkor valami képed lesz a dologról, a szakma egy része pedig megkövez.

A komplex számsík attól sík, hogy a benne szereplő elemeket (a komplex számokat) két adattal tudjuk megadni, egy úgynevezett valós résszel és egy úgynevezett képzetes résszel. Egy síkot pedig két adat jellemez (ennyivel tudjuk egyértelműen megadni egy pontját, azaz elemét), mégpedig az x és y koordinátákkal meghatározott két számmal. Ezért formailag (de csak úgy!) e kettő azonos. Egy z komplex szám például a 2+3*i (itt "i" egy speciális szám, amelynek a legfontosabb tulajdonsága, hogy a négyzete egyenlő mínusz eggyel.) A sík egy pontját az [x,y] koordinátarendszerben például így adjuk meg P = (2,3). Ha most x tengelynek képzeled a valós számokat, és y tengelynek a képzeteseket, akkor ebben a koordinátarendszerben az előbbi z komplex szám (2,3). Mint a síknál.

Azonban ezzel lényegében vége a hasonlóságnak, mindössze néhány formális művelet lesz hasonló. Mert a z komplex számokkal is lehet ugyanolyan dolgokat művelni, mint a valósakkal, lehet szabályokat megállapítani, egy részük hasonló a valós számokhoz (például a valós koordinátatengely tartalmazza az összes valós számot), más részük pedig nagyon más. Iyg jön létre a klasszikus algebra mintájára a komplex algebra, és minden más is.

Hogy érzed-e, miről van szó, azt csak te tudod. A fő probléma az, hogy aki ismeri a komplex rendszert, nem tudhatja pontosan, mire kíváncsi a nem ismerő. Így csak vaktában találgathat, hogy arról beszélt-e, amire a másik kíváncsi.