Mi a különbség az egyenlet, és a függvény között?

Alapvető különbség, hogy az egyenletnél az x helyére csak azok a a számok írhatóak, amik igazzá teszik az egyenletet, míg függvény esetén x helyére bármilyen szám írható (ami a megadott értelmezési tartományban benne van).

A f(x) több dolgot is jelenthet. Lehet csak a neve a függvénynek, amiben azt is megmutatjuk, hogy a függvény ismeretlene az x. De jelöli az általában vett függvényértéket is.

Az f(4) azt mutatja meg, hogy ha a függvény változójába (ami általában x) 4-et írunk, akkor milyen értéket kapunk (feltéve, hogy a függvény az x=4 helyen értelmezve van)

Létezik többismeretlenes (pontosabban többváltozós) függvény, például az f(x;y) = x*y egy kétváltozós függvény. Ez a függvény sík koordináta-rendszerben nem ábrázolható, ehhez már térbeli koordináta-rendszerre van szükség.

Függvényrendszerek is léteznek, azokról azonban a tudásom eléggé korlátolt. Amennyire én tudom, a függvényrendszerek úgy alakulnak, hogy egy adott függvénybe belehelyezünk egy úgynevezett paramétert, és a paramétert változtatva kapunk különféle függvényeket.

Az egyenletet onnan ismered fel, hogy van valahol a közepe felé egy egyenlőségjel benne. Az egyenlet mindkét oldala egy-egy függvény, amelyek egyenlő értéket képviselnek (ezért van köztük az egyenlőségjel).

Az f(x) a függvények normál jelölési módja. Tehát ha azt látod, hogy f(x)=(akármi), akkor tudod, hogy az (akármi) az egy függvény.

Az egyenlet két oldala értelmezhető függvényként. Ilyenkor ábrázolható a kettő egy koordináta-rendszerben, és ha ez megvan, akkor különféle tulajdonságokat tudunk leolvasni, mint például hol metszi egymást (ezekből a metszéspontokból olvashatóak ki az egyenlet megoldásai), melyik mikor van melyik fölött (ezzel a relációkat, vagyis az egyenlőtlenségek megoldásait tudjuk megadni).

Ha két függvény egyenlő, akkor tetszőleges számot beírva x helyére a két függvény ugyanazt az értéket fogja kiadni arra a számra.

Nem tudom, mit értesz "különböző" függvény alatt, de egy függvény felírható több módon is. Klasszikus példa (mindkét függvény a valós számok halmazán értelmezve):

f(x) = |x|

g(x) = gyök(x^2)

Ha megnézzük a két függvényt, hogy mikor milyen értéket vesznek fel, akkor azt láthatjuk, hogy adott számra mindig ugyanazt kapjuk eredményül, vagyis az |x|=gyök(x^2) egyenletnek minden valós szám megoldása, következésképp f(x)=g(x).

A függvény egy tág fogalom. Vannak például szám-szám függvények, vannak geometriai transzformációk, és vannak logikai függvények is. Vannak függvények, amelyek egy gráf éleihez színeket rendelnek; van, ami síkidomokhoz hozzárendeli a területét vagy a kerületét; van, ami emberekhez hozzárendeli a lakóhelyét. Lényege, hogy egy halmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeli egy halmaz elemeit, ami lehet ugyanaz a halmaz, de egy másik halmaz is.

Az egyenletek speciális függvények, a logikai függvények közé tartoznak, amelyek értelmezési tartományuk elemeihez hozzárendelik az igaz, hamis értékek valamelyikét. A megoldások éppen azok az elemek, amelyekhez az egyenlet az igaz értéket rendeli. Belőlük áll az egyenlet igazhalmaza. Az értelmezési tartomány többi eleme nem megoldás, de behelyettesíthető, és az egyenlet állítását hamissá teszi. Belőlük áll az egyenlet hamishalmaza. Lehetnek az alaphalmaznak olyan elemei is, amelyek nem elemei az egyenlet értelmezési tartományának, ezek be sem helyettesíthetők, mert értelmetlenné teszik egyik vagy másik oldalt, így az egyenlet nem rendel hozzájuk igazságértéket. Ezeket kikötésekkel lehet megtalálni.

Érdekes gondolat hogy egy egyenlet megoldása, az nem más, mint két függvény metszéspontjának megkeresése.

példál : x+2 = 3x+4

ahol x = -1 tehát ott metszik egymást.