Az N -> N függvényeknél értelmezhető a rákövetkezés?

Ha a rákövetkező függvényt a természetes számokon S(x) = x+1-ként definiáljuk, akkor a függvény értékkészletének bármely eleme f(x) esetén a következő szám T(f(x)) = f(x)+1 lesz. Tehát a T(f(x)) függvénye csak annyiban tér el a S(x) függvénytől, hogy a bemenő értékek nem csak természetes számok lehetnek, hanem bármilyen értékkészlettel rendelkező függvény értékei is.

A függvények T(f(x)) és f(S(x)) azonban általában különböző értéket adnak vissza, kivéve az egyszerű esetet, amikor f(x) = x. Ebben az esetben mindkét függvény ugyanazt a következő számot adja vissza.

Nem létezik olyan T(f(x)) függvény, amely az összes függvényt generálni tudja. Például a f(x) = x^2 és a f(x) = 2x függvények különböző T(f(x)) függvénnyel rendelkeznek. Tehát nincs olyan univerzális T(f(x)), amely minden függvényt előállítana. Azonban bizonyos függvényosztályokra lehet univerzális T(f(x))-et definiálni, például az összes lineáris függvényre T(f(x)) = f(x)+1.

Nope. Volt itt ma egy hasonló kérdés, az volt a kérdés, hogy kontinuumszámosságú halmazon értelmezhető-e ilyesmi. És arra az volt a válasz(om), hogy nem, mivel a Peano-axiómák az izomorfia erejéig egyértelműen meghatározzák a természetes számokat.

Azt pedig nagyon könnyű kimutatni, hogy a természetes számokon értelmezett sorozatok kontinuum sokan vannak.

Ha k,n számosságok, akkor a k^n hatványon értjük az |{f|f:B->A}| számosságot. Ez a hatványozás teljesít sok minden jót.

Ha most c-vel jelölöm a kontinuumszámosságot, és n-nel alef-nullát, akkor speciálisan:

c=2^n=<k^n=<n^n=<c^n(=(2^n)^n=2^n*n=2^n)=c, k természetes szám volt, és ezért a Cantor-Bernstein-tétel miatt itt végig egyenlőség szerepel. Tehát összefoglalva: a természetes számokból álló sorozatok kontinuumsokan vannak (n^n volt ugye itt), ezért rajta nem értelmezhető olyan típusú rákövetkezés, mint a természetes számokon.

#2 jól leírta, talán csak az eleje maradt le, hogy tegyük fel hogy egy bizonyos f_0 függvény rákövetkezőivel megkapjuk az összes N->N függvényt, vagyis

: {T^n(f_0) | n ∈ N} = {g| g: N->N}.

Ez egy bijekciót adna N és az összes N->N függvény között. Ami pedig nincsen.

#3-ban még T is fix. Azaz egy bizonyos f_0: N->N és T: {N->N} -> {N->N} rögzített.

Bónusz kérdés, hogy ha értelmezed a törtedik rákövetkezőt is valahogy, akkor van-e ilyen f_0 és T.

(Szerintem akár igen, akár nem, nagyon egyszerű a válasz, de meghagyom másnak.)