A valós függvények felfoghatóak végtelen/folytonos permutációs vektoroknak?

#1, nem elég az invertálhatóság, pléldául f: [0,1]->[0,1], f(x)=x egy valós függvény és mégsem permutációja a valós számoknak. Egyáltalán nem triviális, amit a kérdező mond. Vagy mondok még szebb ellenpéldát, pl.

f: R->R, f(x)=e^x. Jééé, még egy invertálható, folytonos, szigorúan monoton függvény, ami ráadásul mindenütt differenciálható, és mégsem permutációja R-nek.

Annak a szükséges és elegendő feltétele, hogy egy f függvény képe R-nek egy permutációja legyen, hogy f legyen szigorúan monoton és folytonos a teljes R-en, és R-et R-re, nem pedig R-be képezze.

Bizonyítás: Tfh. f képe R-nek egy permutációja. Ha nem volna folytonos, akkor létezne olyan y valós, hogy f(x) != y semmilyen x valósra f monotonitása miatt, így nem lehetne permutáció.

Ha f nem lenne szigorúan monoton, akkor nem lenne invertálható, így nem lehetne permutáció.

Ha f sem nem folytonos, sem nem szigorúan monoton, akkor nem invertálható, ezért nem permutáció. Tehát ha f képe permutáció, akkor f szükségképpen szigorúan monoton és folytonos az egész R-en.

Megfordítva, ha f:R->R szigorúan monoton és folytonos, akkor az pontosan azt jelenti, hogy f:R->R bijekció, azaz f képe R-nek egy permutációja.

#1es vagyok.

Jó ha a teljes R-en akarod a permutaciot, akkor persze olyan fuggvenyt kell keresni ami a teljes Ren van ertelmezve es szurjektiv. Ahhoz hogy megfelelo permutacio legyen ahhoz meg injektivnek kell lennie. Tehat a fuggveny ami jo lesz nekunk az bijektiv teljes R-en azaz invertalhato.

Nem kell szigoruan monotonnak lennie. Például vedd az x->x fuggvenyt a [-1, 1] intervallumon kivul, az intervallumon belul pedig az x->-x fvt. Ez invertalhato, de nem szigoruan monoton. Es annak a permutacionak felel meg hogy a [-1, 1] intervallumon belul felcsereli az elemeket az ellentettjukkel az intervallumon kivul pedig mindenkit beken hagy.