Hogyan lesz egy függvény érintőiből egy új függvény deriválásnál?

Minden pontnak van egy első koordinátája, és minden érintőnek van meredeksége.

A derivált függvény minden első ponthoz az ottani érintő meredekségét rendeli.

Itt lehet látni ezt:

[link]

Már a megfogalmazásod sejteti, hogy hol úszol el a megértésben. "Minden pontba" helyesen. Tehát minden pontba húzott érintőnek van egy meredeksége, s azt a meredekséget mint számértéket ugyanahhoz az értelmezéstartománybeli ponthoz felrajzoljuk, mint amelyik pontba az érintőt húztuk. Így kapunk egy függvényt, ha minden pontban ezt megtesszük, ez lesz a derivált-függvény vagy differenciálhányados függvény.

Pl. Az y= x egyenes bármely pontjában a meredekség 1. Így mindegyik értelmezéstartománybeli ponton felvesszük az 1-et. Az így keletkező függvény a konstans 1 függvény, az y=x függvény derivált függvénye.

Nézzük máshogyan; milyen meredekségű érintő húzható az x^2 függvény (1;1) pontjába?

Erre a választ a differenciálhányados adja meg;

lim (x^2-1)/(x-1) = ... = x+1 = 1+1 = 2, tehát 2 meredekségű.

x->1

Milyen húzható a (3;9) pontjához?

lim (x^2-9)/(x-3) = ... = x+3 = 3+3 = 6, tehát 6 meredekségű húzható.

x->3

Namost, hogy ezt ne kelljen minden egyes pontra eljátszani, ezért a differenciálhányadost általánosan megoldjuk az (s;s^2) pontra (általában x0-lal szoktuk ezt felírni, de mindegy):

lim (x^2-s^2)/(x-s) = ... = x+s = s+s = 2s, tehát a meredekség 2s lesz.

x->s

Általánosságban tehát elmondhatjuk, hogy ha az eredeti függvényben az x=s helyen vizsgálódunk, akkor az eredmény mindig 2s lesz, ezzel kapunk egy (s;2s) koordinátapárt, és mivel x=s, ezért az (x;2x) szerint tudjuk ugyanabban a koordináta-rendszerben ábrázolni, így azt mondjuk, hogy az x^2 függvény deriváltja 2x lesz.

A matematikában a számokra értelmezhetők műveletek. Ugyanez igaz a függvényekre is. Azokkal további műveletek is végezhetők, ilyen a deriválás. Pontos szabályai vannak, hogyan végezhető ez el. Vagyis a deriválás függvényből függvényt csinál, hogy ez miképpen áll elő, a deriválás definíciójából következik (azaz két pont közötti függvényérték különbség és a két pont különbsége hányadosa a differenciahányados, ennek egy ponthoz tartozó határértéke a differenciálhányados, ha a függvény minden pontjára elvégezzük, akkor a deriváltfüggvény.

De mivel a differenciahányados határértékeként kapott differenciálhányadosnak geometriai interpretációja, jelentése is van, mégpadig a függvény adott pontban húzott érintője, így beszélhetünk a függvény érintőfüggvényéről is.

Egyes függvények esetén van fizikai interpertáció is, például az útfüggvény deriváltja a sebességfüggvény, annak a deriváltja pedig a gyorsulásfüggvény.

A függvény ugye egyolyan fogalom, ahol egyes pontokhoz (független változó értékekhez) más pontokat (függő változó értékeket) rendelünk, vagyis a függvény egy ponthalmaz leképezése egy másik ponthalmazba. E leképezést leíró szabályt nevezzük függvénynek.