Ez a két pont ugyanaz?

Szerintem igaz.

Vegyük azt a térgörbét, amelyiket az első feladatban bejártunk.

Az a két csúcsot összekötő gerincvonal. Aminek az a jellemzője, hogy van sok más összekötő útvonal a két csúcs között, de mindegyiknek van a gerincvonal minimumánál alacsonyabban fekvő pontja, ahol feleslegesen mélyre mennénk.

A második feladatban át kell haladnunk ezen a gerincvonalon. Tehát a második feladat pontja nem lehet alacsonyabban, mint az elsőé. Akkor már csak az a kérdés, hogy mindkét irányból el tudunk-e jutni a nyeregpontig.

Tegyük fel, hogy van előttünk egy szakasz, amelyik utunkat állja, mert előttünk magasabbak a pontjai, mint a nyeregpont. De akkor el tudunk indulni a szakasz mentén, amig a nyeregpontnál alacsonyabb pontot nem találunk. Ott tudjuk átszelni ezt a közbenső görbét. Ha nincs ilyen alacsonyságú pontja, akkor ez a valódi nyereggerinc és a legalacsonyabb pontja a valódi nyeregpont.

"Kérdés: az 1)-es út legalacsonyabb pontja és a 2)-es út legmagasabb pontja megegyezik?"

Pontosabban ez azzal a módosítással teljesül, hogy ha az első feladatban több egyenlő magasságú ilyen pont van, akkor a második feladat pontja ezek közül valamelyik.

A 3-as érvelés alapján.

Amit #2 ír majdnem jó.

Nyilván az kell hogy a hegyek ugyanolyan magasak legyenek, hiszen az 1-es út legalacsonyabb pontja az max akkora, mint az alacsonyabb hegycsúcs, a 2-es út legmagasabb pontja pedig legalább akkora, mint a magasabb hegycsúcs.

Ugyanígy be lehet látni hogy a mindkét útnak vízszintesnek kell lennie, és hogy azok jók mind.

#5

"Amit #2 ír majdnem jó."

Nem jó.

#2

"Ez csak úgy lehetséges, ha a két hegycsúcs tökéletesen egyforma magas, és egy tökéletesen egyenes, vízszintes vonalon haladsz."

Van egy 1000 és egy 900 méteres hegyed és közöttük egy kb. félköríves gerinc, aminek a legalacsonyabb pontja (a hágó) 500m magas.

2-es semmilyen feltétele nem teljesül rá és mégis ugyanaz a csúcsról-csúcsra és a csúcsok között átvezető leggazdaságosabb útvonal közös, kritikus pontja.

A második mondatban van elrejtve a megoldás.

"2) Át akarok sétálni a hegyek egyik oldaláról a másikra a köztük lévő nyergen keresztül úgy, hogy közben a legmagasabb tengerszint feletti magasságom a lehető legalacsonyabban legyen."

A legmagasabb tengerszint feletti magasságom az a magasabbig hegycsúcs. Ez egy fix pont, tehát csak akkor egyezhet meg az 1)-es út legalacsonyabb pontja és a 2)-es út legmagasabb pontja, ha a másik hegy ugyanilyen magas a köztük lévő úttal együtt.

#7

Rosszul értelmezed a kettes mondatot:

"Át akarok sétálni a hegyek egyik oldaláról a másikra"

A két hegy másik oldalára. Vagyis előttem van a két hegy és én mögöttük akarok lenni. A mostani nézőpontom szerint. Ráadásul az is kikötés, hogy a "köztük lévő nyergen keresztül".

"... úgy, hogy közben a legmagasabb tengerszint feletti magasságom"

Ez az utam legmagasabb pontja. És ez a pont legyen olyan alacsonyan, amennyire csak lehet, hogy ne kelljen sokat másznom, emelkednem.

A kiránduló a második úton nem fog felmászni egyik csúcsra sem. Nem az a célja, hogy magasra menjen, hanem az, hogy alacsonyan maradjon. A csúcsok között levő nyereg legalacsonyabb pontján megy át, ha lehetséges.

És lehetséges, ahogy a 3-asban írtam.

Itt komoly értelmezési problémák vannak.

Azt a kérdést, hogy a "legalacsonyabb magasság a lehető legmagasabb legyen", továbbá azt, hogy a "legmagasabb tengerszint feletti magasságom a legalacsonyabb legyen" kizárólag abban az esetben lehet értelmezni, ha minimum két út lehetséges. De az ilyesmit sok változat (leginkább végtelen sok változat) esetén szokás kérdezni. Egyetlen lehetséges út olyan, amilyen, nincs legalacsonyabb és legmagasabb egyetlen esetre.

Ha tovább bogozzuk, akkor ha két csúcs között völgyön át haladunk (felülről konkáv), akkor a legalacsonyabb magasság a völgy legmélyebb pontján van. A legmagasabb pont viszont a két csúcs közül a magasabbé, minden más pont alacsonyabb. Megfordítva, ha hegyeken át megyünk (felülről konvex), akkor pedig a a legalacsonyabb pont az alacsonyabbik csúcs, a legmagasabb pedig a görbe legmagasabb pontja (amit ilyenkor hegycsúcsnak nevezünk).

Tökéletesen értelmetlen dolgok között nincs olyan, hogy igaz vagy nem igaz. Csak olyan van, hogy értelmetlen.

"ha minimum két út lehetséges."

Két hegycsúcs között hány úton lehet menni? Csak 1-en?

Lehet menni végig a gerincen. A piros turistajelzésen, a sárgán, a kéken. Vagy az erdőben gombászva. Vagy eltévedve és összevissza bolyongva. Csak az a lényeg, hogy minden út kezdőpontja az egyik, végpontja a másik csúcs legyen.

Minden úton lesz egy (vagy több, de azonos tengerszint feletti magasságú) legalacsonyabb pont. Nevezzük ezt az út mélypontjának. És ha vesszük az utakhoz tartozó mélypontokat, akkor ezek között lesz egy (vagy több) aminek a legnagyobb a tengerszint feletti magassága.