Melyik a hatékonyabb prímszámképlet?

Egyelőre a finnországi gombra hajlok szavazni, de…

1. Ugye egy – több jegyű – prímszám 1-re, 3-ra, 7-re vagy 9-re végződhet. (Páros szám nem lehet prímszám végződése – a 2-őt magát kivéve –, mert akkor osztható lenne 2-vel. 5 sem lehet prímszám végződése – az 5-öt magát kivéve –, mert akkor osztható lenne 5-tel.)

2. Az egymást követő négyzetszámok végződései ciklikusan 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0…

Az n²+1 esetén 10 egymást követő négyzetszámból 7 esetben olyan végződést kapunk, ami vagy páros, vagy 5-ös. Az n²-2 esetén jobb az arány, ott 10 egymást követő szám esetén 5 esetben is olyan végződést kapunk, ami lehet akár prím is. Pusztán ennyiből úgy első blikkre az n²-2 kb. 67% nagyobb eséllyel ad prímet.

(De ha lesz időm meg kedvem, később lehet, hogy átgondolom újra ezt a kérdést, más, most hirtelen be nem ugró összefüggés jelentősen megváltoztathatja a képet.)

[link]

[link]

Így ránézésre elég stabilan kétszer annyi prímet termel az n^2+1 mint az n^2-2.

Részeredmény: 10≤n≤1 000 000 intervallumban

54 106 darab n²+1 alakú prím van,

72 923 darab n²-2 alakú prím van (~34,78%-kal több).

~ ~ ~

#4 ötletét meglovagolva:

[link]

Jól látható, hogy a n²-2 alakú prímek az elején biztos, hogy többen vannak.

[link]

Ebből saccra lineárisnak tűnik a kétféle képlettel kapott prímek száma.

~ ~ ~

További elemezgetés:

n²+1 esetén:

- 50% rögtön kiesik, mert n páratlan, így n²+1 páros lesz.

- 3-mal egyik szám sem lesz osztható.

- ugyan a számok 40%-a osztható lesz öttel, de ezeknek a fele amúgy is páros, tehát ezzel csak további 20%-ot vesztünk.

- 7-tel, 11-gyel nem oszthatók az így felírható számok.

- 13-mal a számok 2/13-a lenne osztható, de ezeknek a fele páros, egy kisebb részük 5-tel osztható, így a 13-mal való oszthatóság miatt kb. a számok 5%-a fog kiesni.

Így versenyben marad kb. a számok kb. 25%-a.

n²-2 esetén:

- 50% rögtön kiesik, mert n páros, így a szám is páros lesz.

- 3-mal és 5-tel egyik szám sem lesz osztható.

- 7-tel a számok 2/7-e lenne osztható, de ezeknek a fele páros, tehát a számok további 14,28%-a esik ki.

- 11-gyel és 13-mal egyik szám sem lesz osztható.

Versenyben marad a számok 35,72%-a.

Ebből is az jön ki, hogy n²-2 alakú prímből saccra 42,8%-kal van több.

Persze aztán lehet nézni a 17-tel, 19-cel, 23-mal való oszthatóságot, nyilván ez összességében érdemben változtat az arányokon, de minél nagyobb prímet nézünk, annál kevesebb n²+1 illetve az n²-2 alakú szám lesz osztható velük. Tehát ez a hozzávetőleges 34%-os többlet innen is reálisnak tűnik, és érzetre nem tűnik úgy, hogy nagyon nagy számok esetén behozná a lemaradását.