Hogyan lehet elképzelni a sin,cos,tg és ctg függvényeket komplex számokra?

A komplex függvények nem vonalak, hanem felületek.

Mi a kérdés?

Hogy érted, hogy miben más? Kifejtenéd?

A sima sin egy valós számból csinál valós számot, a komplex sin meg egy komplexből egy komplexet (és kiterjeszti az előbbit).

Úgy, mint egy össze-vissza gyűrt lepedőt.

De nézzél képeket.

A grafikonja nem olyan, mint egy lepedő, mivel komplex számokhoz komplex számokat rendel, és minden komplex számot felvesz értékként. Ezért négy dimenzióra lenne szükség. Mivel a legtöbb ember nem tud dolgokat elképzelni négy dimenzióban, azért vagy külön ábrázolják a valós és a képzetes részt, vagy pedig színezéssel, ahol a színek két dimenziót jelenítenek meg.

A szinuszfüggvény a valós tengelyen hullámzik egy kicsit, azonban attól távolodva abszolútértékben exponenciálisan nő. Ez annyira így van, hogy a tisztán képzetes számokon tisztán képzetes értékeket felvéve az abszolútérték megegyezik a szinusz hiperbólikusz abszolútértékével.

A koszinuszfüggvény a valós tengelyen hullámzik egy kicsit, azonban attól távolodva abszolútértékben exponenciálisan nő. Ez annyira így van, hogy a tisztán képzetes számokon tisztán képzetes értékeket felvéve az abszolútérték megegyezik a koszinusz hiperbólikusz értékével.

A tangens és a kotangens már bonyolultabb esetek, mivel nekik pólusuk van azokban a pontokban, ahol valós számokon nincsenek értelmezve. Ezek környékén minden komplex számot felvesznek értékként.