Hogyan lehet bebizonyítani, hogy egy háromszög belső szögeinek mértéke 180 fok?

Ha a háromszög csúcsánál, vagy csúcsán keresztül húzunk egy egyenest, amely a háromszög alapvonalával párhuzamos.

Ekkor a csúcsszög mellett megjelenik a háromszög két másik szöge is és látható, hogy összesen 180 fok, mert egy egyenes félkörben pont annyi.

Legyen egy háromszög csúcspontjai A, B, C, a szögei alfa, béta, gamma.

Vegyük az AB szakasz meghosszabbítását, valamint a B pontból az AC szakasszal húzzunk párhuzamost. Ekkor a B pontban három szög keletkezik, amelyek összege nyilvánvalóan 180 fok (egy egyenesen fekszenek). A jobboldali szög alfa nagyságú, hiszen hasonló szögekről van szó, mivel B-ből párhuzamost húztunk. A középső szög szintén a hasonlóság miatt éppen gamma, mivel ennek és az eredeti gamma szögnek a szárai párhuzamosak, illetve megegyeznek. A maradék baloldali szög meg éppen béta.

Hát igen, a legtöbb helyen csak „elfogadják” a mindenféle tételeket, mert derogál bizonyítani... Többféle módon is lehet bizonyítani, a legelterjettebb bizonyítást írták fent le.

Másik, többlépcsős bizonyítás; derékszögű háromszögekre viszonylag könnyű belátni, hogy az állítás igaz; minden derékszögű háromszög egy fél téglalap, a téglalap belső szögeinek összege 360° (4*90°=360°), behúzva az egyik átlót keletkezik két-két azonos nagyságú hegyesszög, ezek legyenek a és b, ekkor a szögek összege egyszerűbben leírva 2*(90°+a+b), de ez még mindig 360°, tehát 2*(90°+a+b)=360°, vagyis 90°+a+b=180°, ezzel beláttuk, hogy derékszögű háromszög esetén a belső szögek összege mindig 180°.

Általános háromszögben húzzuk be a leghosszabb oldalhoz tartozó magasságot (az biztosan a háromszögön belül marad, tehát felbontja azt két derékszögre). A két derékszögű háromszögben a belső szögek összege 180° fejenként, így összesen 360°-ot számolunk meg. Ebben a 360°-ban két derékszög van, amelyek nem az eredeti háromszög (rész)szögei, a többi igen, így azokat levonva kapjuk a belső szögek összegét, ami így 360-90°-90°=180°, és ezt kellett bizonyítanunk.

Ha ügyes vagy, akkor ugyanazzal a gondolatmenettel, amivel rájöttél, hogy mennyi általában a négyszög belső szögeinek összege, meg tudod azt is határozni, hogy az összes többi oldalú sokszögben mennyi ez az összeg. Legalábbis a konvexekre ez minden probléma nélkül működik, konkávoknál már egy kicsit máshogy kell gondolkodni, de az összeg ugyanannyi lesz.

Mondjuk legyen az az állítás, hogy a háromszög belső szögeinek az összege az egyenesszög.

(Egyenesszög: van egy egyenesed, felveszel rajta egy pontot, az két félegyenesre osztja az egyenest, amik egy szöget zárnak be.)

(Szögek összege: egymás mellé rakod őket, és akkor az lesz az összeg.)

A bizonyítás pedig például leolvasható erről az ábráról:

[link]

Anno ez a bizonyítás érettségi tétel volt, ma már nem az?

Amúgy azért emeljük ki, hogy ez a 180 fok csak euklidészi geometriában igaz.