Létezik-e olyan algebrai művelet, amely asszociatív, de nem kommutatív?

Például a geometriai transzformációk ilyenek. Tudjuk, hogy

T1T2T3 = (T1T2)T3 = T1(T2T3), de általában T1T2 =/= T2T1, például ha két párhuzamos tengelyre tükrözöl, egymás után, akkor a tükrözés sorrendje számít.

A mátrixszorzás pl. ilyen:

A×B ≠ B×A (általában), de:

(A×B)×C = A×(B×C)

Más életszerű példa most hirtelen nem ugrik be, de definiáljuk a következő műveletet:

a⊗b := b

Így:

a⊗b = b

b⊗a = a

Tehát:

a⊗b ≠ b⊗a

De:

(a⊗b)⊗c = b⊗c = c

a⊗(b⊗c) = a⊗c = c

Tehát:

(a⊗b)⊗c = a⊗(b⊗c)

Az eredeti kérdésre megkaptad a jó választ.

Az új kérdésedet nem értem. Mit szeretnél, miket tudjon?

> Én inkább nevezném ezt tulajdonságot gyengén asszociatívnak.

Egy kétváltozós művelet akkor kommutatív, ha bármely a-ra és b-re igaz, hogy a⊗b=b⊗a. Azaz egy (ℍ;⊗) grupoid esetén a ⊗ művelet kommutatív, ha:

∀a∈ℍ∀b∈ℍ a⊗b=b⊗a

Egy kétváltozós művelet akkor asszociatív, ha bármely a-ra, b-re és c-re igaz, hogy (a⊗b)⊗c=a(⊗b⊗c). Azaz egy (ℍ;⊗) grupoid esetén a ⊗ művelet asszociatív, ha:

∀a∈ℍ∀b∈ℍ∀c∈ℍ (a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c)

A kommutativitás arról szól, hogy egy kétváltozós művelet esetén a művelet két operandusa felcserélhető. Az asszociativitásnál arról, hogy a műveletek elvégzésének a sorrendje cserélhető fel. A kettő teljesen más tészta, vannak kommutatív, de nem asszociatív műveletek és vannak asszociatív, de nem kommutatív műveletek.

A kommutativitás és az asszociativitás a fentieket jelenti. Hogy te inkább mit minek neveznél az a magánügyed, de ettől még mindenki más az általánosan elfogadott elnevezés fogja használni. Nincs „gyengén asszociatív” művelet.

A kommutativitás a művelet operandusainak a sorrendjéről szól, aminek nincs általánosítása. Pl. abból, hogy:

a⊗b = b⊗a

Nem következik az, hogy:

a⊗b⊗c = c⊗b⊗a

Az asszociativitás esetén beszélhetünk még általános asszociativitásról:

((a⊗b)⊗c)⊗d = (a⊗b)⊗(c⊗d) = (a⊗(b⊗c))⊗d = a⊗((b⊗c)⊗d) = a⊗(b⊗(c⊗d))

De ettől még az asszociativitás azt jelenti, ami a fenti definíciója.

~ ~ ~

> Szerencsére vannak a ciklikus mátrixok is, ahol még a sorrenden is változtathatunk.

Egy művelet akkor kommutatív, illetve asszociatív, ha bármilyen paraméterre fennállnak a fenti összefüggések. Az, hogy van egy nem kommutatív művelet, amihez léteznek olyan operandusok, amik felcserélésével ugyanazt az eredményt kapjuk, az nem jelenti azt, hogy a műveletet kommutatívnak nevezhetnénk. A kommutativitáshoz az összefüggéseknek bármilyen operandusra fenn kell állniuk.

Tehát attól, hogy a mátrixszorzás esetén a két operandus felcserélhető, attól még a mátrixszorzás nem kommutatív, mert ahhoz azt a feltételt kell teljesítenie, hogy bármilyen mátrixok esetén legyen felcserélhető a két operandus.

A kommutativitásnak az a definíciója, hogy:

∀a∈ℍ∀b∈ℍ a⊗b=b⊗a

És nem az, hogy:

∃∈ℍ∃b∈ℍ a⊗b=b⊗a

~ ~ ~

> Ha algebraira váltunk, nekem az a sejtésem, hogy a kommutatív tulajdonság szükséges feltétele az asszociatív tulajdonságnak.

Nem. A #3-ban két ellenpélda is van rá.

~ ~ ~

> Én sokszor úgy próbálom ellenőrizni, hogy a kapott háromváltozós alakot (maradjunk képzeletben a prefix írásmódnál) mint háromváltozós függvényként tekintem

Ami viszont hibás nézőpont. Ha kétváltozós műveletekből kreálsz egy háromváltozós műveletet, akkor már egy egészen más műveletről beszélünk. A kommutativitás, asszociativitás kétváltozós műveletek tulajdonsága. Ha a műveletet függvény alakban írjuk fel, akkor látható, hogy egészen más a kettő:

a⊗b = ⊗(a,b)

a⊗b⊗c = ⊗(⊗(a,b),c) ≠ f(a,b,c)

a⊗(b⊗c) = ⊗(a,⊗(b,c)) ≠ f(a,b,c)

Pl. ha

a⊗b = ⊗(a,b) := sin(a) + sin(b)

Akkor:

(a⊗b)⊗c = ⊗(⊗(a,b),c) = sin(sin(a)+sin(b)) + sin(c)

a⊗(b⊗c) = ⊗(a,⊗(b,c)) = sin(a) + sin(sin(b)+sin(c))

És:

a⊗b⊗c ≠ f(a,b,c) ≠ sin(a) + sin(b) + sin(c)

akármennyire is erre a háromváltozós műveletre asszociálna is az ember a kétváltozós műveletből.

Az a⊗b⊗c nyilván egy kényelmes jelölésmód, de attól, hogy a műveletek elvégzésének sorrendjét ilyen esetben balról jobbra szokás elvégezni, attól még ez *kettő* darab *kétváltozós* művelet, amiben az egyik művelet eredménye a másik művelet operandusa lesz. A háromváltozós művelet meg egészen más tészta.

Egy háromváltozós művelet nem feltétlenül írható fel két darab kétváltozós művelet egymásutániságával. Pl. ha definiáljuk a következő műveletet:

⊗(a,b,c) := (a-b)^c + (b-c)^a + (c-a)^b

akkor ezt nem tudod felírni a következő alakok egyikében sem:

⊗(a,b,c) = f(a,g(b,c))

⊗(a,b,c) = f(b,g(a,c))

⊗(a,b,c) = f(c,g(a,b))

⊗(a,b,c) = f(g(a,b),c)

⊗(a,b,c) = f(g(a,c),b)

⊗(a,b,c) = f(g(b,c),a)

stb…

De visszatérve ez a

a⊗b := sin(a) + sin(b)

művelet tehát kommutatív, de nem asszociatív.

És bár:

a⊗b = b⊗a

De:

a⊗b⊗c ≠ a⊗c⊗b ≠ b⊗a⊗c ≠ b⊗c⊗a ≠ c⊗a⊗b ≠ c⊗b⊗a

Pont ezért nem szokás a kommutativitásnak általánosabb értelmét adni. A kommutativitás nem egy kifejezés, hanem egy művelet tulajdonsága, az a⊗b⊗c meg nem egy, hanem két műveletet tartalmazó kifejezés.

Az asszociatív, de nem kommutatív műveletekre meg lásd a #3-ban írt példákat.

~ ~ ~

Ha van egy művelet, aminél az eredmény valamilyen módon az operandusok sorrendiségétől függ, akkor nyilván a művelet nem lesz kommutatív. De ettől még lehet asszociatív. Pl. a

a⊗b := b

esetében az eredmény a *második* paraméterrel azonos, így nem lesz sem szűkebb, sem tágabb értelemben kommutatív a művelet.

Viszont asszociatív lesz, mert mind az

(a⊗b)⊗c

Mind a

a⊗(b⊗c)

esetében a végén egy (x⊗c) jellegű kétváltozós műveletre jutunk, márpedig ennél a műveletnél az eredmény nem függ az első operandustól.

Sőt a művelet bár nem nem kommutatív, rá az általánosan asszociativitás is fennáll:

((a⊗b)⊗c)⊗d = (b⊗c)⊗d = c⊗d = d

(a⊗b)⊗(c⊗d) = b⊗d = d

(a⊗(b⊗c))⊗d = (a⊗c)⊗d = c⊗d = d

a⊗((b⊗c)⊗d) = a⊗(c⊗d) = a⊗d = d

a⊗(b⊗(c⊗d)) = a⊗(b⊗d) = a⊗d = d

~ ~ ~

Ez a hibás látásmód valószínűleg abból fakad, hogy mikor az ember tanulja a matematikát, akkor az elemi algebrai műveleteket tanulja elsőnek (valós/racionális/egész számokra az összeadást, kivonást, szorzást, osztást, hatványozást, gyökvonást, logaritmust stb.), amelyeknek az a speciális jellegzetessége, hogy ezek közül minden kommutatív művelet egyben asszociatív is és viszont, és minden nemkommutatív művelet nemasszociatív és viszont. Illetve a kommutatív és asszociatív műveletek egymásutánisága elvileg felfogható három-, négy-, sokváltozós műveletként is, amiknek ugyanúgy van kommutatív és asszociatív jellegű összefüggései. De összességében ez a műveleteknek, műveleteknek nem egy általános jellemzője, itt a műveleteknek két egymástól független tulajdonságról van szó.

Pont ezért nehéz is elvonatkoztatni ettől, nehézséget okoz megérteni, hogy az a+b+c nem egy háromváltozós művelet, hanem két kétváltozós művelet egymásutánisága, ami bizonyos műveletek esetén nem összekeverendő.

* Javítás:

Tehát attól, hogy a mátrixszorzás esetén a két operandus felcserélhető ciklikus mátrixok esetén, attól még a mátrixszorzás nem kommutatív…

> Mégis megkérdezném a megzavarhatom-e egy vagy két privát üzenettel egy állítás bizonyításának vagy cáfolásának a kapcsán.

Nos. Egyrészt nem vagyok matematikus, csak afféle szórakozásképpen foglalkozok egy-egy hasonló kérdés kapcsán matematikával.

Másrészt írhatsz privát üzenetet (maradnék a net általános tegeződésénél), de ha a dolog nem különösebben érzékeny, akkor célszerűbb lenne publikus kérdésként megfogalmazni. Ez neked is jobb, mert több szem többet lát, mások kiegészíthetik vagy kijavíthatják azt, amit írnék. Meg ugye lehet, hogy mások is tanulnak belőle valamit.