A nulla tekinthető lenne -e prím számnak, ha elvégezhető lenne vele az osztás művelete? (Akár filozófiai jellegű megközelítések is érdekelnek) Minden vélemény érdekel.

Miért lenne primszám a 0? És mi a többi zűrzavar a kérdésben?

Kezdjük:

"A matematikában a nullával való osztás tiltott művelet (ennek valószínűsíthető oka az, hogy ezen osztások különböző végteleneket eredményeznének, amelyek jellegüknél fogva korlátozottan lennének értelmezhetők, illetve összehasonlíthatóak)."

Nem tiltott, hanem nem értelmezhető. Mi az osztás (alap)definiciója? A/B=C keressük azt a C számot amit ha megszorzunk B-vel A-t kapjuk. A 0-t bármivel szorozzuk 0-t kapunk, tehát soha nem lesz olyan C szám amivel a 0-t megszorozva A-t kapnánk. Másképpen fogalmazva nincs olyan C szám amire teljesül, hogy C*0=A (egyetlen egy speciális esetet leszámítva ha A=0 és C=0).

Továbbá B osztója A-nak ha C egész. Ennek van egy fura következménye, hogy a 0-nak végtelen sok osztója van. 0/B=0 minden B valós számra igaz lesz. Azaz a 0-nak végtelen sok osztója lesz.

Mi a prímszám (egyik jelenleg elfogadott) definiciója:Prímszám olyan természetes szám aminek pontosan 2 db. osztója van, az 1 és saját maga. Ebből következik, hogy nem csak a 0 (aminek végtelen sok osztója van) hanem az 1-sem prímszám (annak csak 1 osztója van). Itt azért vannak pici fogalmi eltérések a különböző tankönyvekben is. De alapvetően ezek a definiciók használhatóak.

"Az osztás átalakítás nélkül alaphelyzetben nem kommutatív művelet. Egy szám önmagával való osztása viszont mindig kommutatív (a számláló és a nevező azonossága miatt ez belátható) és az osztás eredménye mindig egy." EZt, és ami utána van nem értem, hogy mi köze a kérdéshez.

"Ez viszont azt is jelenti, hogy a nulla nem osztható önmagával sem."

Valóban, a 0 nem osztható önmagával, de érdekes módon a 0 osztója önmagának. Bár a két kifejezés általában felcserélhető, a definíciójukban van egy apró különbség:

Oszthatóság: a osztható b-vel, hogyha létezik k egész szám, hogy a/b = k

Osztója: b osztója a-nak, hogyha létezik k egész szám, hogy a = b*k

Tehát az egyik esetben konkrét osztással van definiálva az oszthatóság, a másik esetben szorzással. Az első esetbe nem fér bele a 0/0, a második esetbe belefér a 0=0*k, emiatt a 0 nem osztható 0-val, de osztója önmagának.

> A nulla tekinthető lenne -e prím számnak, ha elvégezhető lenne vele az osztás művelete?

Nem.

De üljünk fel fordítva a lóra, ez kivételesen talán érthetőbbé teszi a dolgot. Az összetett számokból érdemes kiindulni. Összetett egy nemnegatív egész szám akkor, ha felírható két, tőle különböző nemnegatív egész szám szorzataként. A 12 összetett, mert előáll a 2 és a 6 szorzatából: 12=2*6. A 6 is összetett, mert előáll a 2 és a 3 szorzatából: 6=2*3. Az így kapott szorzat: 12=2*2*3. Ebből sem a 2, sem a 3 nem összetett, mert nem írható fel két olyan nemnegatív egész szorzataként, ahol egyik szorzótényező sem a önmaga. Igazából ez az, aminek jelentősége van.

Prímszámok azok, amik nem összetett számok, de van olyan összetett szám, aminek a fenti módon szorzattá való átalakításban szorzótényezőként szerepelnek.

Az 1 azért érdekes mert nem összetett szám, hiszen nem írható fel két tőle különböző nemnegatív egész szám szorzataként. De nem is prímszám, mert nincs olyan összetett szám, aminél a fenti módon szorzattá alakítás során megjelenne, mint szorzótényező. Nyilván minden egész szám – mondjuk a 7 – osztható 1-gyel, azaz felírható 1 és egy másik egész szám szorzataként, de ez a másik egész szám maga az eredeti szám – a 7-es – lesz. Ugye ha az 1 a szorzás neutrális eleme, ha belevesszük a szorzattá alakításba, akkor a végtelenségig lehetne ezt folytatni: 7 = 1*7 = 1*1*7 = 1*1*1*7 stb…

A nullával ugyanez a helyzet. A nulla nem összetett szám, hiszen nem írható fel tőle különböző két nemnegatív egész szorzataként. Nem is prímszám, mert nincs olyan nemnegatív összetett szám, amiben a 0 szorzótényezőként szerepelhetne.

~ ~ ~

> A matematikában a nullával való osztás tiltott művelet (ennek valószínűsíthető oka az, hogy ezen osztások különböző végteleneket eredményeznének, amelyek jellegüknél fogva korlátozottan lennének értelmezhetők, illetve összehasonlíthatóak).

A dolog ennél komplexebb. A nullával való osztás határértékként megközelíthető, viszont az értéke attól függ, hogy mi az eredeti kifejezés. Pl. ha az x/x kifejezésnél tart az x a nullához, akkor az eredmény az 1-hez tart. Ha a 2x/x kifejezésnél tart az x a nullához, akkor az eredmény 2-höz tart. Ha meg az 1/x kifejezésnél tart az x a nullához, akkor nem mindegy, hogy pozitív, vagy negatív irányból tart hozzá, az előbbi esetben +∞, az utóbbi esetben -∞ -hez fogunk tartani.

A 0/0 esetén mondhatnánk azt, hogy az legyen egyenlő 1-gyel, hiszen minden más x esetén x/x=1, de a gond az, hogy a 2x/x kifejezés a 2-höz tart, márpedig ha x tart a nullához, akkor a 2x is a nullához tart, tehát egy 0/0 jellegű határérték az is.

~ ~ ~

> Az osztás átalakítás nélkül alaphelyzetben nem kommutatív művelet.

Ez egy kicsit fogalomzavar. Kommutatív egy ⊛ művelet akkor, ha *bármely* a és b esetén igaz, hogy:

a ⊛ b = b ⊛ a

Máshogy megfogalmazva kommutatív egy ⊛ művelet akkor, ha *nincs* olyan a vagy b, amely esetén

a ⊛ b ≠ b ⊛ a

A művelet az, ami kommutatív. Az, hogy egy kétváltozós műveletben a két operandus egyenlő, így nyilván felcserélhető, attól a művelet maga nem lesz kommutatív. A kommutativitás az operandusoktól független jellemzője a műveletnek.

~ ~ ~

> Egy szám önmagával való osztása viszont mindig kommutatív (a számláló és a nevező azonossága miatt ez belátható) és az osztás eredménye mindig egy.

Nem. A nulla esetében pont, hogy nem egy. A nulla esetében az eredmény meghatározatlan, a művelet ezen két operandushoz nem rendel értéket.

> ha a nulla önmagával való osztása a tiltás miatt nem elvégezhető, akkor nem is kommutatív

A mondat első feléből nem következik a második. A két nulla megkülönböztetéséhez lássuk el őket alsó indexszel. A 0₁ / 0₂ ugyanúgy nem levégezhető, mint a 0₂ / 0₁. A két operandus felcserélése ugyanúgy egy nem elvégezhető műveletet, nem meghatározható eredményt ad.

De ez olyan, hogy attól, hogy a -2-nek a -2-dik gyöke nem értelmezhető a valós számok körében, attól még nem létezik kétféle -2 szám.

~ ~ ~

A többi kérdéseddel együtt nézve nem igazán értem, hogy miért vetted a fejedbe, hogy ilyen-olyan megközelítéssel azt hozd ki, hogy többféle nulla létezik. Nyilván az alapszintű algebrát szanaszét cincálták már sokan, ha eddig nem jutottunk el olyan következtetésre, hogy többféle nulla is létezik, akkor – stílszerűen fogalmazva – nullához konvergál az esélye annak, hogy ennyire alapszintű megközelítéssel te fogsz eljutni ilyen következtetésre.