Miért nem működik a skaláris szorzás nem Descartes-féle koordinátarendszerben?

Azt hiszem arra gondol, hogy miért csak ortonormált bázisban lehet a koordináták szorzatának összegeként számítani.

Ennek egyszerű a bizonyítása, ha rendelkezünk a szükséges előismeretekkel, addig viszont nincs haszna szemezgetni az ismereteket. Egyelőre tanulgasd, amit a tanárnő tanít, aztán majd, ha végeztél a középiskolával és úgy döntesz, hogy érdekel a tanultak háttere is, és eljutsz odáig, akkor az ilyen kérdéseket is gond nélkül megérted majd.

A skalárszorzat csak a vektortól függ, attól, hogy milyen koordináta rendszert használok éppen attól nem. Hülyeség is lenne, ha ugyanazt a két vektort összeszorozva más eredményt kapnék különböző koord rsz-ekben.

Különben meg, ha megnézed a skalárszorzat definícióját, ott sehol sincs semmi szó a koordinátákról.

[link]

#2 arra gondol, hogy ha van egy vektortér, és azon egy skaláris/belső szorzás (egy VxV -> R függvény, ami teljesít mindenféle azonosságot), akkor az /létezik/, függetlenül attól, hogy a vektortér vektorait mondjuk gömbi koordinátákkal látod el.

A kérdés sokkal inkább az, hogy R^n-en a

: (v,w) -->| v^T w

miért egy skaláris szorzás.

Kedves Kérdező!

Baluba válasza szerintem sokat takar, de a lényeg gyakorlatilag benne van. A skalárszorzás mint művelet más koordinátákon is létezik.

Ha kiindulunk a felsőmatematikában szokásos absztrakt vektorterekből, akkor különböző fogalmak bevezetésével lehet szűkíteni az általánosságukon. Szép sorban: lineáris tér, metrikus tér, normált tér, Banach-tér majd Euklideszi-tér. Ez utóbbiban értelmezzük a skalárszorzást, a bázisok fogalmát viszont "egyel fentebb" is be lehet vezetni (akár korábban is).

A fentiekhez hozzátartozik az is, hogy az egyes koordinátareprezentációkat (vagy bázisokat) át lehet alakítani egymásba, pl. egy lineáris transzformációval. Ekkor - feltéve, hogy kiindulásként is értelmezhető volt a skalárszorzat - az új rendszerben is értelmezhető lesz, de az átfedési mátrixot (vagy bizonyos esetekben a metrikus tenzort) is transzformálni (LSL^+) kell.

Ezzel szemben a nem Euklediszi-tereken nincs ilyen metrika, így ott nem lesz értelmezhető a skalárszorzat.

Az egész kérdéskörnek nincsen értelme, annak sem, amit a tanár kérdezett vissza, vagy annak, amit az órán vettetek, hogy "mi órán úgy tanultuk, hogy a skaláris szorzást Descartes-féle koordinátarendszerben értelmezzük, de annak a választásától nem függ."

Ha szerencséd van, akkor a tanár adott pár példát arra, hogy mit ért ez alatt, amiket elég visszamondani.

Kb az a legtöbb, ami ezzel kapcsolatban állítható, hogy tetszőleges irányba álló Descartes-féle koordinátarendszerben a \sum v_i w_i érték az megegyezik.

Ahh. ha adott egy tetszőleges ONB, akkor így számolható a skaláris szorzat. Ha egy másik bázisod van egy skalárszorzatos térben, akkor nem számolható így a skaláris szorzat.

Például ha az egyik bázisvektor nem 1 hosszú, akkor annak a "koordinátás szorzata" önmagával 1, de a skalárszorzata magával a hossznégyzete, ami nem 1.

#7 "Szóval az a kérdés, hogy pl. ha nézzük a (0,4) (3,0) vektorokat, akkor ezeknek 0 a skaláris szorzatuk a (1,0) (0,1) bázisban, de hogyha ugyanezeket a vektorokat átírom pl. az (1,1) (0,1) bázisba, akkor nem lesz 0 a skaláris szorzatuk, ez egy jó példa lehetne?"

Igen, ez az állítás, és ez a példa jó, leszámítva hogy rosszul használod a szavakat. Általában ha már skalárszorzatról beszélsz, akkor adott egy skalárszorzatos tér, és két vektornak /van/ skalárszorzata. (Mondjuk szerepel a feladatban, te magad definiálod korábban, kiméred egy szögmérővel és vonalzóval, törvénybe iktatják, matematikai konvenció, akármi.)

Ami nem változik, ha átírod egy másik bázisba a két vektort.

Inkább valami ilyesmi:

" a (0,3) és (4,0) vektorok skalárszorzata az (R^2 , I) téren 0, a koordinátás képlet is ugyanezt adja, de ha átírom az (1,1) (0,1) bázisba, akkor a koordinátás képlet mást ad, nevezetesen: ... "