Kirchberger tételének bizonytása?

A vastag n normálvektort jelöl.

[link]

Erről lenne szó, valaki el tudná ezt nekem magyarázni? Nem igazán értem a bizonyítást.

Addig oké, hogy féltereket feleltetünk meg pontoknak egy magasabb dimenzóban, de utána kicsit elvesztem, főleg nem értem azt, hogy amikor írja, hogy ,,azaz", akkor az miért az? És hogy lesz féltér R^(n+1)-ben, hogyha eddig R^n-ben voltunk?

Nagyon megköszönöm, ha tud valaki segíteni.