Hány olyan 6x6-os, komplex elemű mátrix van hasonlóság erejéig, ami unitér és önadjungált is egyszerre?

A második mondatban siklottak ki a gondolataid: diagonalizálható, ezért elegendő a diagonális alakkal foglalkozni, a Jordan-alak tévesen jött a képbe. Aztán az sem jó, hogy a főátlóban 1, -1, i, -i állhat: 1 abszolút értékű komplex számból egy egész környi van, nem csak ez a négy.

Viszont mindegy is, mert az önadjungáltság miatt a főátló tagjai valósak, ezért csak 1 és -1 lehetnek. Ezzel rögtön leszűkítettük a lehetőségeket 2^6 = 64-re.

Ha felcseréljük egy mátrix i-edik és j-edik sorát, majd i-edik és j-edik oszlopát, az egy hasonlósági transzformáció, mivel ugyanazt a transzformációt reprezentálják az i-edik és j-edik vektor felcserélésével kapott bázisban. Ezért ha két diagonális mátrix főátlója ugyanazon tagokat tartalmazza, akkor hasonlóak, mivel sor-oszlop cserélgetéssel megkaphatók egymásból.

Vagyis a 64 mátrixunk közül hasonlóság erejéig csak azok lesznek különbözőek, amelyekben különbözik az 1-esek és -1-esek száma. Ilyenből összesen 7 féle van, hiszen 0..6 darab -1 lehet a főátlóban.