Ezeket a fajta exponenciális egyenleteket hogyan kell megoldani?

-1*(x-2)=2-x

( a^(-b)=1/a^b )

Meg lehet oldani erőből:

log2(2^(x-2)) = log2(5^(2-x))

x-2 = (2-x) * log2(5)

x(1+log2(5)) = 2 + 2*log2(5) = 2 * (1+log2(5))

x = 2

De mivel az egész számok halmazán kéri, meg lehet oldani úgy is, hogy észreveszed, hogy 2 hatványai 1 kivételével párosak, vagy páros számok reciprokai. Míg 5 hatványai 1 kivételével páratlanok, vagy páratlan számok reciprokai. Tehát ha van megoldása az egyenletnek, akkor az csakis 2^(x-2) = 5^(2-x) = 1 lehet, ami a nulladik hatványa 2-nek és 5-nek is, és x=2-re teljesül.

Ennél sokkal egyszerűbben is meg lehet oldani. Ha észrevettük azt, amit mondtam, akkor fel lehet így írni:

2^(x-2) = 1/5^(x-2), szorzunk a nevezővel:

5^(x-2) * 2^(x-2) = 1, ha azonos kitevőjű számokat szorzunk, akkor az alapok összeszorozhatóak:

(2*5)^(x-2) = 1, vagyis

10^(x-2) = 1, ez pedig már megoldható a tanult módon.

De ha szétbontjuk a hatványokat a kitevők alapján a szokott módon, akkor az egyenletet így lehet rendezni:

10^x = 100, ez egy kicsit egyszerűbb.

Most lehet, hogy én gondolom túl, de az 1084-es feladaton gondolkodni sem kell, mert triviális megoldása az x=2, mivel ekkor mindkét oldalon 0 lesz a kitevő, márpedig valami a nulladikon az 1. 1=1, tehát meg van oldva.

Ugyanez az 1085 és 1086.

Ezzel csak az a probléma, hogy az odáig rendben van, hogy ha a kitevőben 0 van mindkét oldalon, akkor az megoldás, viszont ez nem jelenti azt, hogy más megoldás nem lehet. Szóval ez még így önmagában kevés.

Arra lehet esetleg hivatkozni, hogy ha x=/=2, akkor az egyik oldal mindig kisebb 1-nél, a másik nagyobb 1-nél, ebben az esetben nyilván nem lehet egyenlőség, így csak az x=2 lehet megoldás.

De akkor már egyszerűbb normálisan levezetni.