Mik azok a fraktálegyenletek?

A leghíresebb a Mandelbrot szett.

Az X(n+1)=(Xn)^2+X(0) egyenlethez keresünk olyan X(0) kezdő számokat amiknél az X(n) sorozat sosem növekszik végtelenül nagyra.

Pl. X(0)=-2, X(1)=(-2)^2-2=2, X(2)=2^2-2=2, X(3)=...

-2-nél pár lépés után minden tag 2, tehát ez jó, nézzük meg -1-re!

X(0)=-1, X(1)=(-1)^2-1=0, X(2)=0^2-1=-1, X(3)=(-1)^2-1=0, X(4)=...

Tehát a -1 is jó, és 0-ra se kell sokat számolni hogy lássuk hogy jó, valójában a X(0) [-2;+0,25] intervallumon minden valós számra igaz hogy bármeddig is visszük a sort az összes kapott Xn abszolútértéke kettőnél kisebb marad így sosem megy el a sorozat a végtelenbe.

Na ha ugyanezt az egyszerű sorozatot kipróbáljuk a komplex számok halmazán akkor egy végtelenül bonyolult ábrát kapunk, olyan számok mint az i és a -i működnek de ha a számsíkon csak egy kicsit is elmozdulunk akkor a kapott sorozat egy idő után "elszabadul" a végtelenbe. Youtube-on lehet látni mindenféle színes Mondelbrot zoom videókat amiken a fekete szín jelzi a jó megoldásokat, a többi szím pedig azt hogy a rossz megoldásról hány lépés után derült ki hogy rossz, ez lehet ezer, millió vagy még több végigszámolt lépés után is.