Lehetséges végtelen fej egymás után?

Miért kellene az elméletet átvinni a gyakorlatba?

Attól még, mert egy dobókockának csak hat oldala van, igenis lehet elmélkedni azon, hogy milyen eséllyel dobhatok hetet egy dobásból. Elmélkedni lehet rajta. Csak minek? De lehet...

Valóban kicsit értelmetlen a kérdés. Nincs végtelen hosszú pénzfeldobási sorozat. Pontosabban nem következik be soha az az időpillanat, amikor kijelenthető lenne, hogy nem volt a végtelen pénzfeldobási sorozatban egyetlen írás sem, hiszen az érmék feldobása nem fejeződött be, nem végződött be, nyilván ettől lesz végtelen a sorozat.

De bármilyen hosszú, véges sorozat esetén 0-nál nagyobb a valószínűség, hogy mindegyik dobás fej lesz. Ahogy a sorozat hossza *tart* a végtelenhez, úgy tart ennek a valószínűsége a nullához, de bármilyen véges sorozat esetén nagyobb 0-nál.

Hasonló, analóg kérdés, ami viszont már értelmezhető, hogy létezik-e olyn végtelen számosságú számhalmaz, aminek minden eleme páros. Természetesen létezik, pl. a páros számok halmaza, a 4-gyel osztható számok halmaza, az ikerprímek páronként vett összegének a halmaza stb… Tehát nem lehetetlen, így 0-nál nagyobb valószínűségű, hogy egy végtelen számosságú halmaznak történetesen kizárólag páros számok az elemei.

A válaszok jó része tipikus esete az asszociatív gondolkodásnak. A kérdésben szereplő "pénzfeldobás sorozat" azt indukálta a válaszolók fejében, hogy "végrehajtott pénzfeldobás" végtelenszer. Amit ugye nem tudunk végrehajtani. Nem gondoltak bele teljesen, hogy a kérdés egy eseményhalmaz egy eseményére vonatkozik, és van válasz rá.

Amikor azt mondjuk, valamit megcsináltunk (múlt idő!!!) és megnézzük az eredményét, akkor - bármennyire is nem tetszik - mindig véges számú cselekményre gondolunk. Ez nyilvánvaló, ez a mindennapi tapasztalatunk, ez ugrik be. Csakhogy a kérdésben semmi utalás a "végrehajtásra", a kérdés egy (ki nem mondott, de érzékeltetett) eseményhalmaz egy elemére vonatkozik, de hogy erre rájöjjünk, félre kell söpörni az asszociatív agyat, és elemezni kell. Akkor pedig már a kérdés nem értelmetlen, van is rá válasz.

A pénzfeldobáskor fej vagy írás kérdése a valószínűség fogalmának magyarázatakor szokott előkerülni. A kérdező megpróbálta ezt általánosítani, így juthatott eszébe a kérdése.

A kérdés jó!! Az értelmezése rossz! Nincs feldobás a valóságban, de van sorozat az elméletben. De előbb értelmezzünk. A valószínűség azt határozza meg, hogy bizonyos eseménysor közül egy konkrét esemény bekövetkezése milyen gyakoriságú az összeshez képest. Az érmefeldobáskor két esemény van, a fej és az írás. És meg lehet indokolni, miért 1/2 az egyiké (fej) és másiké (írás) is. A kérdésben azonban nem ez az eseményhalmaz. Hanem a feldobás-sorozatok sokfélesége. Ekkor tehát arról van szó, vegyük az összes lehetséges feldobás sorozatot, amelyeknek persze mind lesz egy eredményük, mondjuk a fejek tekintetében. A kérdés pedig az, lehetséges-e (másszóval mi a valószínűsége) egy olyan végtelen sorozatnak, ahol a sorozat minden tagja fej. A válasz: igen lehetséges, és ennek az eseménynek a valószínűsége nulla. Miért? Mert itt az összes lehetséges sorozatot vettük, ezek száma végtelen. Közöttük semmi sem cáfolja, hogy ne lehessen egy olyan végtelen sorozat, ahol minden elem fej. Csak hogy ez egy a végtelenhez, ezért határértékben (ahogy a valószínűséget értelmezzük) a végtelen fej-sorozat nulla valószínűségű lehetséges esemény.

További magyarázatkét hozzátehetjük, fontos megkülönböztetni a nulla valószínűségű lehetséges eseményt a nulla valószínűségű lehetetlen eseménytől. Mi az eltérés? Az esemény bekövetkezési valószínűségét egy konkrét eseményhalmaz (az összes lehetséges esemény) és azon egy konkrét esemény viszonya határozza meg. Ha például az eseményhalmaz végtelen eseményből áll, akkor közülük egy esemény nulla valószínűségű, és lehetséges, hiszen része e halmaznak. Ám ha veszünk egy, a halmazhoz nem tartozó eseményt, az a halmazhoz képest lehetetlen esemény, hiszen nincs a halmaz elemei között.

A kérdésben szereplő eset a pénzfeldobási sorozatok eseményhalmazában a egy esemény. Ezért lehetséges, de nulla valószínűségű. A kockadobások sorozatában a hatos dobássorozat is egy esemény, de nem tartozik a pénzfeldobások közé, ezért ő lehetetlen esemény a pénzfeldobások sorozatának halmazában.