Ismeretlenes végtelensorok?

Ismeretlenes sorokról az égvilágon semmit sem lehet mondani, hiszen ismeretlenes.

Ezzel szemben, ha ez az ismeretlen egy függvény változója, és függvénysorról beszélünk, akkor már lehet mondani valamit. A sorban szereplő függvénytől függ. Léteznek olyan függvénysorok, amelyek mindenütt konvergensek, léteznek olyanok, amelyek mindenütt divergensek, és létezik a kettő között bármi, ezt a konkrét függvény vizsgálata dönti el.

A kérdésben említett példa: f_i(x) = 100-x (tehát minden í-re ugyanaz a függvény). Ekkor szumma (i=1-től végtelenig) f_i(x) sorra a következő mondható. x<-100 esetén divergens és plusz végtelen. x=100 esetén nulla, x>100 esetén divergens és mínusz végtelen.

És ha

f_2k(x)=-x

f_(2k-1)(x)=100?

Ezek a függvények másik sort adnak?

Ez a sor x=100 esetén konvergens?

Konvergencia. A 100-x+100-x+100-x+... végtelen összeg egyetlen x-re sem konvergens. Ugyanakkor ha x>100, akkor van összege: mínusz végtelen; míg ha x<100, akkor is van összege: végtelen; az x=100 választásra nincs összege.

Van egy Abel-szummabilitás nevű fogalom, ami azonban ad egy összeg jellegű mennyiséget az x=100 választáshoz is. Ezt a következőképpen számoljuk ki. Bevezetünk egy y segédváltozót, és a 100-x+100-x+100-x+... összeg tagjait y változó hatványsor együtthatóinak tekintjük, vagyis vesszük a 100-x*y+100*y^2-x*y^3+100*y^4-x*y^5+... hatványsort. Ezt könnyű összegezni: (xy-100)/(y^2-1), és ennek vesszük a határértékét, amint y tart (alulról) az 1-be. Amikor x>100, akkor ez a határérték mínusz végtelen; amikor x<100, akkor ez a határérték végtelen, míg ha x=100, akkor a határérték 50. Tehát a 100-x+100-x+100-x+... végtelen összeg Abel-szummábilis minden x-re, és az Abel-szummája x>100-ra mínusz végtelen, x<100-ra végtelen, x=100-ra pedig 50.

Vannak más végtelen-összeg fogalmak is (pl. Cesaro-összeg), egyébként a kérdezett összegre minden értelmes végtelen-összeg fogalom ugyanazt adja.

15. Ha x=100-at írsz, akkor a részletösszegek:

100 = 100,

100 - x = 100 - 100 = 0,

100 - x + 100 = 100 - 100 + 100 = 100,

100 - x + 100 - x = 100 - 100 + 100 - 100 = 0,

stb.

A részletösszegek sorozata 100, 0, 100, 0, stb. Ennek nincs határértéke. Tehát a 100-x+100-x+100-x+... sor nem konvergens. Erről beszélek.