Hogyan igazolható, hogy az f=x^3n -x^n +3n+1 polinomnak nincs egész gyöke és nem minden gyöke valós?

Nem tudom, hogy hívják, de van módszer arra, hogy egy polinom racionális gyökeit meghatározzák, gyökképlet nélkül. Innen ki lehet deríteni, hogy nincs egész gyöke.

Nem tudom, hogy tanultatok-e differenciálszámítást, de kiszámíthatod a deriváltját, és meghatározhatod a legnagyobb közös osztójukat. Megteheted ezt néhányszor, de észre kell venned egy mintázatot. Ez alapján igazolnod kell, hogy tényleg ez a mintázat ismétlődik. Ebből következtethetsz egy felbontásra, amiben van egy másodfokú tényező. Ennek ki kell számolni a diszkriminánsát, és mivel az negatív, így nem minden gyök valós.

Harmas maradekon gondolkoznek el.

Barmi is x^n 3-as maradeka x^3n = (x^n)^3 -> x^3n maradeka ugyan az (mert 1^3=1 -> 1 marad a maradek, 2^3=8=2*3+2 -> 2 marad a maradek)

Tehat az elso ket tag 3-as maradeka 0 a kivonas utan.

Marad 3n + 1. Ennek a 3-as maradeka mindig 1.

Ha gyokot keresel a jobb oldalon 0 all, f=0.

0 3-as maradeka 0. A bal oldal 3-as maradeka az elobbi alapjan mindig 1. Tehat nincs olyan x ami megoldja f=0 -> nincs gyok (egesz szamok koreben)

A valos gyokokrol:

3n-ed foku polinom, tehat osszesen 3n valos es komplex gyoke van.

Helyettesitsuk z=x^n.

f=z^3-z+3n+1 barmely n-re. Ennek a polinomnak 3 gyoke van.

Tegyuk fel mind valos z1, z2, z3. x=z^(-n) -> ennek minden egyes valos z-re egyedi x megoldasa van (invertalhato?). Tehat ha 3 valos z-nk van, nem lehet tobb 3 valos x gyokunknel.

De tudjuk, hogy 3n gyokunk van osszesen, tehat legalabb 3n-3 nem valos.

Először vegyük észre, hogy kiemelhető x^n:

x^n*(x^(3n-1)-1)+[3n+1]

Ha ennek van egész gyöke, az csak úgy lehet, hogyha x^n|(3n+1), máskülönben a különbség biztosan 0-tól különböző. Ezt háromféleképpen tudjuk elérni;

-vagy 3n+1=0, amire n=-1/3 adódik, ami nem játszik,

-vagy x^n=+-1, ekkor vagy x=1, vagy x=-1 vagy n=0, belátható, hogy ezek sem jók

-vagy |x^n|<=3n+1, erre pedig |x|<=n-edikgyök(3n+1) adódik. Ha n>=4, akkor gyöknek csak a -1, a 0 és az 1 számok jöhetnek számításba (ez azért van, mert az n-edikgyök(3n+1) sorozat innentől kezdve szigorúan monoton csökken, és határértéke 1), ezekre meg lehet nézni, hogy nem kapunk egész n-t, ha n értéke 1, 2 vagy 3, akkor x lehetséges egész értékei egy kicsit nagyobb tartományon mozognak, de mindegyik ellenőrizhető, hogy nem lesz jó.

Ez nem egy túl elegáns megoldás, de így is bizonyítható.

#2: teljesen jó

#3: x=z^(-n) helyett x=z^(1/n)

#4: x^n*(x^(3n-1)-1)+[3n+1] helyett x^n*(x^(2n)-1)+[3n+1]

Az én verzióm: :D

Legyen a=x^n, ha x egész, akkor a is az.

a^3 - a +3n+1 = (a-1)a(a+1) +3n+1

3 egymást követő egész szám közül az egyik osztható 3-mal, tehát a szorzat is, vagyis ha x és így a is egész, f értéke 3-mal osztva 1 maradékot ad, azaz nem lehet 0, nincs egész gyöke, ahogy #2 is írta.

Ha az a^3-a fv-t ábrázolod:

[link]

és eltolod felfelé (3n+1)-gyel, láthatod, hogy csak 1-szer metszi az x-tengelyt, azaz 1 valós gyök lesz, mind a-ra, mind pedig x-re. (Csak látszólag n-ed fokú, valójában harmadf.)