Hány kártyát lehet kirakni a SET nevű játékban úgy, hogy NE legyen benne set?

Először is nézd meg, hogy hány kártyakombináció rakható ki, ez összesen (81 alatt a 3), majd nézd meg, hogy hányféle SET rakható ki (nem látom át hirtelen teljes egészében a játékot, ezért passzolom). Ha mindkettő megvan, akkor azt is meg tudod mondani, hogy hány olyan kártyakombináció van, amelyek nem alkotnak SET-et, ez a szám most legyen k. Ez fog kelleni nekünk.

Tegyük fel, hogy n darab kártyát teszünk az asztalra, belőlük (n alatt a 3) kártyahármas rakható ki. Ha semelyik három nem alkot SET-et, akkor a létező összes lehetőség nem lehet több, mint ahányan nem alkotnak SET-et, mivel akkor biztosan található lesz SET (például ha 80-féleképpen nem alkotnak a kártyák SET-et, de az asztalon lévő kártyákból összesen 82-féle hármas alakítható ki, akkor biztosan lesz legalább két SET az asztalon). Tehát ezt az egyenlőtlenséget kell megoldani:

(n alatt a 3) < k

Ezzel egy felső becslést tudunk csak n-re adni. Hogy valóban így van, ahhoz mutatni kell egy n kártyából álló „asztalt”, hogy nem található benne SET.

Egy barátom ebből írt szakdolgozatot, persze kicsit bővebben, mint ez az egy kérdés. Itt megtalálod:

[link]

Aludtam rá egyet, és valójában könnyen ki lehet számolni, hogy hány kártyahármas van; (81 alatt a 2). Ez azért van, mert bármelyik két kártyát ha kiválasztod, akkor a harmadik kártya tulajdonságait (amellyel kialakul a SET) egyértelműen meghatározzák. Például legyen a két kártya: 1;3;2;3 és 2;1;1;3, ekkor a harmadik kártya tulajdonságai csak 3;2;3;3 lehet, és ilyen kártya biztosan van, és csak egy van belőle. Tehát nekünk elég két kártya ahhoz, hogy a belőle kialakítható SET meghatározható legyen.

Akkor folytassuk a gondolatmenetet;

Összes eset: (81 alatt a 3) = 85.320

SET-ek száma: (81 alatt a 2) = 3.240

Így 85.320-3.240=82.080 esetben a három kártya nem rakja ki a SET-et.

Ha n kártya van az asztalon, akkor (n alatt a 3)-féle kombináció választható ki, ez értelemszerűen nem lehet több, mint 82.080, tehát:

(n alatt a 3) <= 82.080, ennek (egész) megoldása n<=79. Hát, ez nem túl bíztató...

Nézzük a problémát a másik felfedezés szerint; bármely két kártyához pontosan egy harmadik van, amellyel SET-re egészül ki. Most nézzük azt, hogy hány kártyát tudunk kizárni;

-Ha 2 kártya van, akkor 1 nem kerülhet az asztalra

-Ha 3 kártya (amelyek nem alkotnak SET-et, és ez a tulajdonság mindig legyen igaz az astalon fekvőkre), akkor (3 alatt a 2)=3 kártya esik ki.

-Ha 4 kártya, akkor (4 alatt a 2)=6

-Ha 5 kártya, akkir (5 alatt a 2)=10

.

.

.

-12 kártya esetén (12 alatt a 2)=66

-13 kártya esetén (13 alatt a 2)=78, viszont 13+78=91, ennyi lap pedig nincs a pakliban, tehát 13 lap esetén biztosan keletkezik SET.

Tehát az eredendően lefektetett 12 lap esetén fordulhat elő utoljára, hogy nincs SET, már csak mutatni kell egy ilyen állást.

"bármelyik két kártyát ha kiválasztod, akkor a harmadik kártya tulajdonságait (amellyel kialakul a SET) egyértelműen meghatározzák. Például legyen a két kártya: 1;3;2;3 és 2;1;1;3, ekkor a harmadik kártya tulajdonságai csak 3;2;3;3 lehet, és ilyen kártya biztosan van, és csak egy van belőle."

Szerintem azt is számba kéne venned valahol, hogy a harmadik kártya több párosra is lehet azonos.

1;3;2;3 + 2;1;1;3 = 3;2;3;3 , de

1;3;2;1 + 2;1;1;2 szintén = 3;2;3;3

Teljesen jogos az észrevétel, erre nem is gondoltam.

Gondolkodtam rajta, de még nem nagyon sikerült rájönnöm, hogy ezzel mit lehetne kezdeni. Érzésem szerint nagyban nem befolyásolja a végeredményt; 10 lapot kellene lefaragni ahhoz, hogy 13 lap kirakható legyen úgy, hogy SET ne alakulhasson ki (ráadásul ez csak elvi határ), és szerintem ez sok.

"Ha valaki talált valami egyszerűbb megoldást, szóljon. (Vagy ha a fentit el tudja kb. magyarázni 😆)"

Nem fogsz találni egyszerűbb megoldást.

"#4-es: fogalmam sincs, hol a baj, de a gyakorlatban létezik olyan, hogy 12-nél több kártyában sincs SET ☹️"

A belinkelt dolgozatból ajánlom figyelmedbe az alábbi mondatot:

"Az triviális, hogy legalább 16 lap lerakható

úgy, hogy ne legyen benne SET, hiszen minden tulajdonságból két változatot kiválasztva,

és ezekb®l minden lehetséges kombinációt el®állítva kapunk 2^4 = 16 lapot, amelyekben nincs SET"

Ez szerintem megérthető némi végiggondolással, hogy miért igaz.

Ezek után azt, hogy 17 lap kell-e, hogy legyen benne set vagy minimum 21, arra egyszerű eszközök nincsenek.

Elégedj meg azzal, hogy ott egy példa arra, hogy 20 lapot ki lehet venni setmentesen.

És bizonyítható, hogy 21-et nem :)

"Érzésem szerint nagyban nem befolyásolja a végeredményt"

De sajnos pont eléggé befolyásolja.

Nem merültem el mélyen a linkelt írásban, de elhiszem, hogy 21 lap a jó válasz :)