Az "rendőrnek" szót hogy elemzed mondatrészek szerint? "Így kell a rendőrnek köszönni. "

A "köszönni kell" nem lehet névszói-igei állítmány. Már csak azért sem, mert a névszói-igei állítmány igei része akkor jelenik meg, ha a mondat nem jelen idejű, nem kijelentő módú és nem E/3-re vonatkozik. Itt viszont pont erről van szó, és a kell nem is névszói-igei állítmány igei része, az ugyanis vagy a létige, vagy a marad, múlik ige. (Lehet, hogy van még, de a kell nincs köztük.)

A kell, lehet, illik, muszáj stb. típusú igék mint állítmányok mellett az alany MINDIG főnévi igenév! Tehát a mondatban a köszönni az alany. A fenti igék nem vonzanak tárgyat, így nem lehet tárgy a köszönni.

A kérdéses szó minden esetben részeshatározó. A hetedikes Magyar nyelv és kommunikáció című tankönyvben van a részeshatározóról egy rész, amelyben leírja a szerző, hogy a kell melletti -nak/-nek ragos névszó is részeshatározó. (Nem tudom, hanyadik oldal, csak emlékszem erre, amikor tanítottam.)