A hányat és a hánytat között mi a különbség? Mindkettő műveltető ige?

Nem. A "hánytat" az műveltető ige, a "hányat" pedig kérdőszó.

Csak ezt sokan keverni szokták (mint az a kérdésedből is látszik).

Más véleményen vagyok:

mindkettő műveltető ige, de ami hánytat, az kifejezetten azt idézi elő, hogy "kidobd a taccsot",

a hányat viszont sokszor a hány ige 'dob, vet' jelentésével kapcsolatos, pl.:

a gyerekekkel cigánykereket hányattam;

bukfencet hányatok velük;

a király kardélre hányatta az ellenséget;

"A vezeklésből Hiranjakasipu daliás termetű férfiként tért vissza. Uralkodása rettegésben tartotta a jámborokat. Betiltotta a szent áldozatokat, máglyára hányatta a Védákat, s tűzzel-vassal irtotta a bráhmanák kultúráját és vallását.";

"A gazda ágasra hányatja a lekaszált szénát."

(Emellett 'hánytat' értelemben is használják, pl. "hányatja magát", de vannak olyan állandósult kifejezések, amelyekben fixen hánytat van, pl. hánytatószer.)

(És persze, hogy a "hányat" kérdőszó is, de a kérdés nem erre vonatkozott, nyilvánvalóan. :-)

[pardon, kicsúszott...]

ez nem helyesírási kérdés, nem jó szó ide a "helyes/nem helyes" különbségtétel.

az interneten úgy látom, hogy a hányat szót is használják erre a magyarul beszélők/írók, létezik a jelenség, és ha te is magyar anyanyelvű beszélő vagy, akkor biztos a te nyelvérzékednek is van róla "véleménye" – használd belátásod szerint. :-)

mindenesetre hibásnak nem mondható, legfeljebb valakinek az egyik természetes, a másik fura, másnak meg fordítva.