Melyik a helyes? Látszik rajta, mekkora örömmel végzi a munkáját. Látszik rajta, mennyire örömmel végzi a munkáját.

félreértést gyanítok:

ha úgy van a mondat második fele, hogy "mennyire örömmel végzi a munkáját", akkor a mennyire ott nem az "örömmel"-hez tartozik, hanem az egész "örömmel végzi a munkáját"-hoz.

hasonlók:

"..., mennyire szeret dolgozni."

"..., mennyire élvezi a munkáját."

"..., mennyire jól érzi magát a munkahelyén."

na, ha ilyen füllel olvasod, akkor talán nem olyan vcészes az sem, hogy

"..., mennyire örömmel végzi a munkáját."

kétségtelen, hogy van benne egy pici furcsaság, és pont azért, amiért a többi megoldás "jobban csúszik": éppen "örömmel" kezdődik a tagmondat, márpedig ez éppen egy olyan szó, amelynek "be lehet állítani a mértékét", vagyis lehet pl. "nagy örömmel", "nem olyan nagy örömmel", "méréskelt örömmel", "kitörő örömmel", csinálni valamit, ezért az a szokványos megoldás, ha egy erre vonatkozó szó van előtte.

viszont az eggyel korábbi felsorolásomból az is látszik, hogy a "mennyire" kezdetű tagmondatból is nagyon sokféle tud lenni hasonló jelentéssel...

és ennek a kettőnek az "ötvözete" lett az, hogy "mennyire örömmel végzi a munkáját".

én nem mondanám se borzasztónak, se magyartalannak.