Faktoriálisos feladat?

333. Ugye a bal oldal értékei, ha x < 5, akkor

x = 0: 0,

x = 1: 1,

x = 2: 3,

x = 3: 9,

x = 4: 33.

Aztán x = 5-től az x! osztható lesz 5-tel, tehát innét kezdve mindegyik összeg 3 maradékot ad 5-tel osztva, viszont egy négyzetszám ilyet nem tud csinálni, mert ha k osztható 5-tel, akkor k^2 is osztható lesz, ha 1 vagy 4 maradékot ad 5-tel osztva, akkor k^2 éppen 1 maradékot fog adni, ha pedig 2 vagy 3 a maradék, akkor a k^2 éppen 4-et ad majd maradékul, más lehetőség pedig nincs.

Így a megoldás a (0; 0), (1; 1) és (3; 3).

0! nem 0, hanem 1. De mivel 1!-tól indul az összeg, ezért ezzel nem is kell foglakozni. Ha viszont foglalkozunk vele, akkor (x;y)=(0;1).

334. A faktoriális definíciója szerint írjuk át a jobb oldalt:

x! + 1 = (x+1)*x!

Most osszuk el mindkét oldalt x!-sal:

(x!+1)/x! = x+1

Végezzük el az osztást:

1 + 1/x! = x+1

Majd vonjunk ki 1-et:

1/x! = x

Mivel x egész, ezért a jobb oldal értéke biztosan egész, így a bal oldalnak is kell ezt tudnia, így már csak az a kérdés, hogy milyen számmal kell az 1-et elosztanunk, hogy egészet kapjunk. Szerencsére csak egy olyan pozitív egész szám van, ami osztója az 1-nek, és az az 1. Tehát az egyenletnek akkor van esélye igaznak lennie, ha

x! = 1, erre pedig x=0 és x=1 adódik, más nem. A 0 nem lesz jó, az 1 igen, tehát x=1 az egyenlet megoldása.

Nekem az volt a logikám, ha a bal oldal értékét x-re Ö(x)-szel jelöljük, hogy ugye

Ö(3) = 9.

Ö(2) = Ö(3) – 3! = 3.

Ö(1) = Ö(2) – 2! = 1.

Ö(x – 1) = Ö(x) – x!,

tehát Ö(0) = Ö(1) – 1! = 0.

Így x = 0-ra a bal oldalnak 0-nak kell lennie.

Itt Wolframon, ha _pontosan_ ezt írod az inputba, akkor dob egy 'Values' táblázatot is, ami ezt erősíti meg: sum(n!, n = 1..k)

[link]

vagy ez is: sum(n!, n = 1..0)

bár táblázat nélkül…

Vagy akár ezeket a linkeket is nézheted:

[link]

[link]

Én is gondolkoztam amúgy, hogy beírjam-e, hogy ez is megoldás, egyrészt pont ezért, hogy ez kicsit elvont, és nem szokták érteni (pedig nagyon hasonló a logika, mint a szorzatnál és a 0! meghatározásánál: [link] vagy [link] ). Másrészt az is kérdés, hogy a feladat kitűzői természetes számok alatt a pozitív egészeket vagy a nem-negatív egészeket értik. De úgy voltam vele, hogy még egy megoldás nem árthat, majd mindenki eldönti, hogy az neki releváns-e.

(((Ha a 0!-t is hozzácsapnánk a bal oldalhoz, és úgy kéne megoldani a feladatot, akkor pedig ugye a bal oldal értékei rendre

1, 2, 4, 10

lennének az x változó 0, 1, 2, 3 értékeire, innét kezdve pedig 4-gyel osztva mindig 2 maradékot adnának, tehát csak a (0; 1) és a (2; 2) lenne a megoldás.)))