Hogyan lehet a térfogatot az idôvel összekapcsolni?

Ha a víz távozása állandó, akkor lesz a modell lineáris.

24 és 60 perc között 36 perc telt el.

Ezalatt 1200 liter víz folyt el. Ekkor 1 perc alatt 1200/36 liter víz folyik el.

Tehát L [liter] =t[perc]*1200/36 [liter/perc] a lineáris összefüggés.

Az eredeti térfogatból 24 percig folyt víz, mikor 4000 liter maradt, tehát L = 24*1200/36+4000=4800 liter a tartály.

Még van benne 2800 liter, tehát 2800=t*1200/36, rendezve t=36*2800/1200=84. A teljes idő 60+84=144 perc.

Csakhogy a lineáris modell rossz. A víz a lyukon a lyuk fölötti víz súlyának nyomóereje hatására jön ki, kisebb erő kisebb vízfolyási sebesség, és mivel a víz mennyisége folyamatosan csökken, ezért a sebesség egyre kisebb, tehát ugyanannyi víz több idő alatt folyik ki.

(egyébként könnyen belátható, hogy másodfokú függvénykapcsolat van az idő és a térfogat között.)

Ha "lineáris módon" folyt a víz, akkor neked egy lineáris függvény kell. A lineáris függvényekről azt tudjuk, hogy felírhatóak mx+b alakban, ahol m a függvény meredeksége, b pedig az y-tengellyel vett metszete.

Innentől több módon el lehet indulni;

1) A meredekségből:

A meredekség az a számérték, amivel a lineáris függvény egységnyi helyváltozás esetén változik a függvény értéke. Például a 3x+5 függvény esetén ha beírod x helyére a 3-at, akkor függvényértéknek 14-et kapsz, ha a 4-et, akkor a 17-et, ha az 5-öt, akkor 20-at, és így tovább, és azt fogod látni, hogy mindig 3-mal változik a függvényérték, tehát a függvény meredeksége 3. Az is belátható, hogy tetszőleges "szomszédos" számokra igaz lesz ez (a "szomszédos" számok különbsége 1, csak úgy, mint az egészek esetén), és az is, hogy az a 3-as pont az a 3-as, ami a 3x-ben megtalálható. Ezek fényében így tudunk elindulni:

A 24. percben 4 m^3 a térfogat. Ha a 25. percben mondjuk 3,98 m^3 lenne, akkor jó is lenne, mert látnánk, hogy a meredekség 0,02 lenne. Sajnos most ekkora szerencsénk nincsen, de nem esünk pánikba. 24-től 60-ig 36 helyváltozás történik, az értékváltozás 4-ről 2,8-re -1,2. Ha 36 lépéssel -1,2 lett a változás, és minden lépéssel ugyanaz a változás történik, akkor evidens, hogy 1 lépéssel (-1,2)/36=-1/30 lesz az értékváltozás, ez lesz a meredekség. Ez azt jelenti, hogy (-1/30)x+b alakban keressük a lineáris függvényünket. A b értékét úgy kapjuk meg, hogy x helyére beírjuk valamelyik adott x-értéket, és egyenlővé tesszük a hozzárendelt értékkel. Ha a 24-et választjuk, amihez 4 lett rendelve, akkor:

4=(-1/30)*24+b, erre 4,8=b adódik, tehát a keresett függvény: (-1/30)*x+4,8. Ellenőritni a másik ponttal lehet; ha az is egyenlőséget ad, akkor jó.

2) Egyenletrendszerrel:

Annyit csinálunk csak, hogy kétszer vesszük ezt az mx+b alakot, beírjuk x helyére az adottakat, egyenlővé tesszük ezeket a hozzájuk rendelt értékekkel, és az így kapott egyenletrendszert megoldjuk:

4=m*24+b

2,8=m*60+b

Ez is több módon megoldhatű, és ugyanazt az eredményt fogja adni, amit fent már láttunk.

Ha megvan a függvény, akkor az összes kérdés leolvasható róla.

c) Azért nem jó a lineáris függvény, mert az csak akkor működne, hogyha a lezúduló vízre (időben) állandó erő hatna. A vízre az F=m*g nagyságú nehézségi erő hat (a földfelszínhez rögzített inerciarendszerben), azonban az m, vagyis a víz tömege időben változik, így a rá ható erő is, emiatt a lefolyás nem lehet egyenletes/lineáris.