A Martingale módszer hosszú távon tuti bukás szerencsejátékban?

A wikin elég jól beletrafáltak a lényegbe:

"Valójában a módszer csak akkor működne, ha a játékosnak végtelen sok pénze lenne, és bármilyen sokáig, és bármekkora tétekkel játszhatná a játékot. A valóságban előbb-utóbb bekövetkezik egy olyan hosszú vereségsorozat, ami alatt elfogy a pénze, vagy eléri a megengedett maximális feltehető összeget. Így a martingale-t játszók általában sok kis nyereség után egy katasztrofális veszteséggel fejezik be a játékot. "

[link]

A matematikáját is megtalálod ugyanott.

A pénzérmés példádban két tízes bukó sorozat közötti nyerések várható értéke 2^10, azaz 1024, tehát ha nincs "rake", pont kiegyensúlyozza azt. A limites Martingale emiatt valójában nem is Martingale, hiszen nem garantál semmilyen nyereményt végtelen pénztárcával se.

Ennyi erővel 10 helyett 2-es vagy 3-as bukó sorozatnál is újrakezdhetnéd... Nem nehéz belátni, hogy a limit pont a lényeget, a "majd addig játszom amíg nyerek" lehetőségét veszi el. Ezért nem működik a gyakorlatban sem az egész. És akkor még a rake-ről nem is beszéltünk...

A pechsorozatok közti nyerések száma geometriai eloszlású, a paraméter pedig p=(1/2)^10. A geometriai eloszlás várható értéke 1/p, ami 2^10, azaz megegyezik a veszteségeddel. A játék tisztességes formája (érme 50-50%, nyerés esetén a tét kétszeresét kapod vissza) tehát 0 várható értékű hosszú távon.

Amit érdemes megjegyezni, hogy a két vesztés közti nyeréseknek az átlaga ugyan 2^10, a mediánja viszont kb. ln(2)*2^10 = 710. Gyakrabban buksz pénzt két vesztés között, mint nyersz, ugyanakkor a néha igen hosszúra nyúló pech nélküli sorozatok az átlagot visszahozzák nullára. Annak a valószínűsége, hogy a bukás előtti kis nyerésekből legalább 1024 összejöjjön: (1-0.5^10)^1024 = 36.7%. Durván csak minden harmadik sorozatban nyersz.

A valóságban persze nem szokás tisztességes fogadást kínálni, és ha az esélyed 50% helyett akár csak 49%, akkor a várható érték is masszívan negatív: 1/0.51^10 = 840 egységnyi nyerés jut az 1024 egységű veszteségre. Ez 18%-os sáp a ház javára.