A. ) Bizonyitsd be, hogy ha bármely négyjegyü számot egymás után irva képezünk egy 8 jegyü számot, akkor ez a szám mindig oszthato lesz 137-el?

Az A) állítás hamis.

Legyen egy négyjegyű szám X. Ekkor a nyolcjegyű szám 10000*X+X=100001*X=(729*137+128)*X. Ebből az első tag osztható 137-tel, tehát 128*X-ről kell ugyanezt megmutatni. Minthogy X tetszőleges, például legyen 1000. A 128000 nem osztható 137-tel. Tehát nem "bármely" négyjegyűre igaz az állítás (egyébként sok másra se).

Az A) állítás igaz.

Legyen egy négyjegyű szám X. Ekkor a nyolcjegyű szám 10000*X+X=10001*X=73*137*X ami osztható 137-tel, lásd az oszthatosag definícióját.

A) A megoldást már leírták előttem, de megpróbálom szájbarágósabban leírni. Ha x a négyjegyű szám, akkor 10001-el megszorozva kapod azt, mintha egymás után írnád. Lásd

x = 2018

00002018 +

20180000 =

--------

20182018

Ergo:

20182018 =

= 20180000 + 2018

= 2018*10000 + 2018*1 =

= 2018*(10000+1)

= 2018*10001

Mivel 10001 = 137*73, ezért bármilyen egész x esetén, a nyolcjegyű szám 10001*x = 137*73*x lesz, ami maradék nélkül osztható 137-el, méghozzá pontosan 73*x-szer lesz meg benne.

Pl.:

x = 2018

20182018 =

= 10001 * 2018 =

= 137 * 37 * 2018 =

= 137 * (37 * 2018) =

= 137 * 74666

Tehát 20182018-at elosztva 137-el, 73*2018=74666-ot kapunk, és maradt nulla, azaz 20182018 maradék nélkül osztható 137-el.

~ ~ ~

B) Gondolkodjunk. Ha csak egyjegyű számok vannak ebben az összegben, akkor:

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

Kevés…

Ha háromjegyű szám is van az összegben, akkor maga a háromjegyű szám is, így az összeg is nyilván nagyobb lesz 99-nél, tehát az úgy sok lenne.

Következtetés: legalább egy – de akár több – kétjegyű számnak, és a maradék egyjegyű számoknak kell lenni az összegben

~ ~ ~

Nézzük, mi a helyzet, ha csak egyetlen kétjegyű szám van. Ekkor ugye két számjegyből csinálunk egy kétjegyű számot. Legyen az egyik számunk a 3, a másik a 7, mert miért ne…

Ekkor az összeg így alakul:

1 + 2 + (0) + 4 + 5 + 6 + (0) + 8 + 9 + 37

Ugye a 37-et fel tudjuk úgy írni, hogy:

37 = 30 + 7 = 3*10 + 7 = 3*9 + 3 + 7

Így a 3-ast és a 7-est vissza tudjuk tenni az összeg eredeti helyére, így ezt kapjuk:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 3*9 =

= 45 + 3*9

Remek, tehát kérdés, hogy melyik legyen az a szám, amit egy másikkal úgy vonunk össze, hogy ő lesz a kétjegyű számban a tízes helyiértéken álló szám? Legyen ez a szám „a”. Ekkor:

45 + a*9 = 99

a*9 = 54

a = 6

Tehát ha az 6-ost vonjuk össze bármelyik másik számmal, akkor 99 lesz az eredmény:

(0) + 2 + 3 + 4 + 5 + (0) + 7 + 8 + 9 + 61 = 99

1 + (0) + 3 + 4 + 5 + (0) + 7 + 8 + 9 + 62 = 99

1 + 2 + (0) + 4 + 5 + (0) + 7 + 8 + 9 + 63 = 99

…

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + (0) + 7 + 8 + (0) + 69 = 99

(A 6-os mellé bármelyik számjegyet választhatjuk a 8 közül, így 8 ilyen megoldás van.)

Ha a számok sorrendjének is meg kell maradnia, akkor nyilván a hattal kezdődő kétjegyű szám csak a 67 lehet, azaz:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + (0) + (0) + 8 + 9 + 67 =

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 99

~ ~ ~

Nézzük, mi a helyzet, ha két darab kétjegyű számunk is van. Ha már az előbb a 3 és a 7 volt a példánk, legyen most a másik kettő a 4 és az 6. Ekkor hasonló következtetéssel az jön ki, hogy az összeg így:

1 + 2 + (0) + (0) + 5 + (0) + (0) + 8 + 9 + 37 + 46

Itt is felírható a 37 úgy, hogy:

37 = 30 + 7 = 3*10 + 7 = 3*9 + 3 + 7

A 46 meg úgy, hogy:

46 = 40 + 6 = 4*10 + 6 = 4*9 + 4 + 6

Ha „a”-val és „b”-vel jelöljük a két darab kétjegyű szám első számjegyét, akkor itt is hasonlót kapunk:

45 + a*9 + b*9 = 99

45 + (a+b)*9 = 99

(a+b)*9 = 54

a+b = 6

(Ahol a<b)

Ez előállhat a következő módokon:

a = 1, b = 5

a = 2, b = 4

Mind a négy esetben az egyik számjegyet a maradék 5 számjegyből, a másik számjegyet a maradék 4-ből választhatjuk ki, így 2*7*6=84 különböző megoldás van:

4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 12 + 53 = 99

3 + 6 + 7 + 8 + 9 + 12 + 54 = 99

3 + 4 + 7 + 8 + 9 + 12 + 56 = 99

3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 57 = 99

…

1 + 3 + 5 + 6 + 7 + 28 + 49 = 99

Ha a számjegyek sorrendje is számít, akkor extra kritérium, hogy a és b nem lehet szomszédos, és ilyen esetben a másik számjegy az azt követő lesz:

a = 1, b = 5 esetén:

12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99

a = 2, b = 4 esetén:

1 + 23 + 45 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99

~ ~ ~

Ha három kétjegyű számunk van, akkor a végén azt kapjuk, hogy

a+b+c = 6, ahol

a<b<c

Ilyen csak egy eset van:

a=1, b=2, c=3

Ha nem számít a sorrend, akkor 3*6*5*4 = 360 ilyen megoldás van.

Ha számít a sorrend, akkor itt nem lesz megoldás, mert az extra feltétel, hogy a, b és c nem lehetnek szomszédosak.

~ ~ ~

Négy kétjegyű szám esetén nem lesz megoldás, mert a végén azt kapjuk, hogy:

(a+b+c+d) = 6, ahol

a<b<c<d

Amire nem lesz megoldás.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Tehát ha a sorrend nem számít, akkor

8 + 2*7*6 + 3*6*5*4 = 452 megoldás van.

Ha számít a sorrend, akkor 1+2 megoldás van:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 99

12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99

1 + 23 + 45 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99