Mit jelent az és, hogyan lehet megoldani egy olyan feladatot, amelyikben, adva van egy 2 változós egyenlet és megkell oldabi valamelyik szám halmazán, pl. a valós számok halmazán?

2x²+3y²-4x-6x+5=0

2x²-4x+5=-(3y²-6y)

2(x²-2x)+5=-3(y²-2y)

2(x²-2x+1-1)+5=-3(y²-2y+1²-1²)

2(x-1)²-2+5=-3(y-1)²+3

2(x-1)²=-3(y-1)²

Bal oldal mindig nemnegatív, jobb oldal minsig nempozitív, tehát az egyetlen megoldás az (x,y)=(1,1) számpár.

Az olyan egyenleteknél, ahol négyzetes tagok vannak, jórészt az visz megoldáshoz, hogy teljes négyzetté alakítunk;

2x^2-4x = 2*(x^2-2x) = 2*((x-1)^2-1) = 2(x-1)^2-2

3y^2-6y = 3*(y^2-2y) = 3*((y-1)^2-1) = 3(y-1)^2-3

Tehát az egyenlet átírható ilyen alakra:

2(x-1)^2-2 + 3(y-1)^2-3 + 5 = 0, összevonás után

2(x-1)^2 + 3(y-1)^2 = 0

Ebből már látszik, hogy csak az x=1 és y=1 lesz megoldása.

Meg lehet úgy is oldani, hogy paraméteres egyenletként kezeled, ekkor valamelyik ismeretlent kinevezed paraméternek, és a másodfokú megoldóképletet aszerint írod fel. Ha érdekel, leírom azt is külön.

Egyenlettel egy, adott halmazból az {IGAZ,HAMIS} halmazba képző (parciális) függvényt adunk meg.

Az egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megkeressük az adott halmaz azon elemeit, amelyek képe IGAZ.

(Ha két valós változód van, akkor az alaphalmazod az R^2.)

2x^2+3y^2-4x-6y+5=0

Első körben válasszuk az x-et változónak, ekkor kizárásos alapon az y lesz a paraméter, ebben az esetben az y-os tagokat is számként kezeljük, mint például a 9-et. Rendezzük egymás mellé az azonos betűt tartalmazó kifejezéseket:

2x^2 -4x +3y^2 -6y +5 =0

Mivel x-et választottuk változónak, ezért aszerint írjuk fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét; a képletben a=2, b=-4, c=3y^2-6y+5, így ezt kapjuk:

x(1;2) = [4 +- gyök(16-4*2*(3y^2-6y+5))]/4, vagyis

x(1;2) = [4 +- gyök(16-24y^2+48y-40)]/4, még jobban összevonva:

x(1;2) = [4 +- gyök(-24y^2+48y-24)]/4

Ezzel gyakorlatilag x értékét y függvényében kaptuk meg, vagyis ha y helyére beírunk egy számot, akkor kapjuk meg x értékét, már ha értelmes műveleteket tudunk elvégezni; azt tudjuk, hogy gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért meg kell oldanunk a

-24y^2+48y-24 >=0 egyenlőtlenséget. Pakoljunk át mindenkit a jobb oldalra, és osszunk 24-gyel:

0 >=y^2-2y+1, ezt csak az y=1 fogja igazzá tenni, ezt már nem részletezem, hogyan jön ki, mivel alapvető feladat ennek kiszámítása.

Ekkor x értéke [4 +- 0]/4=1, tehát ugyanazt kaptuk, mint az előbbi számítás szerint.

Ha gondolod, vezesd végig ugyanezt úgy, hogy y a változó és x a paraméter, hogy akkor mi jön ki. Ha nem megy, segítek a levezetésben.

„Például ha egy olyan egyenletet kapsz, hogy x²=√y, akkor y=x⁴ vagy x=(y)^(1/4) a megoldás.”

Itt a kolléga lehagyta a „+-”-t, tehát helyesen: x=+-(y)^(1/4).