Egy test belé irt körének a sugara mennyi?

Nincs rá képlet, és amit te írtál, az is egy hülyeség.

Gondolj bele: fogok egy testet, hozzácsapok egy hosszú de vékony, epszilon átmérőjű tűt, a térfogata és felszíne praktikusan nem változik, de a köréírt gömbnek a tűt is be kell fognia, így annak sugara nyilván megnő. Ugyanígy belátható, hogy a beleírt gömb se függhet pusztán a test térfogatától és felszínétől.

Pedig pont, hogy a helyes választ írta le, más kérdés, hogy te nem tudod értelmezni/nem akarod elfogadni.

Linkelhetnél erről a képletről valamit, mert igazság szerint én sem találkoztam ezzel, pláne nincs ötletem, hogy miből vezethető le. Azt tartom valószínűnek, hogy valamilyen testek esetén ez működik (például szabályos tetraéder), de az biztos, hogy minden esetre nem használható ez a képlet; konkrétan a kockára be lehet látni; az x élű kocka köré írt gömbjének (és nem körének) sugara x*gyök(3)/2, a kocka felszíne 6x^2, térfogata x^3, így az általad beírt képletbe: 3x^3/(4*6*x^2)=x/6 eredményt kapjuk, ami igencsak nem x*gyök(3)/2.

Már miért írna az első hülyeséget. Próbáld meg vizualizálni magadban…

Mondjuk képzelj el egy narancsot. Eleve gömbszerű. Megvan? Olyan narancs méretű, mondjuk 5 cm sugarú gömb – és nem kör – lesz a köré írható gömb. Most képzelj el egy 2 méter hosszú cérnaszálat, Mennyi annak a térfogata? Össze lehetne gyűrni egy borsszem méretű helyre, tehát a narancshoz képest elenyésző térfogatot jelent. Mennyi a cérna felülete? Nyilván az sem nagy a narancs felületéhez képest. Most fogj egy tűt, fűzd át a cérnádat a narancson úgy, hogy szépen egyenesen álljon a cérna. Mennyit változott így a térfogat? Alig. Mennyit változott a felszín? Alig. A képletedből kb. ugyanaz a sugár jönne ki. Holott nyilván itt már nem egy 5 cm sugarú, hanem egy 100 cm sugarú gömb lesz a köré írható gömb sugara.

~ ~ ~

De nézzük meg a te trükkös képletedet is kicsit közelről.

Vegyünk egy egységoldalú – 1 m * 1 m * 1 m – kockát.

a = 1 m

V = a³ = 1 m³

A = 6a² = 6 m²

A te képleted alapján a sugár várható értéke:

3V / 4A = (3 * 1 m³) / ( 4 * 6 m²) = 3 m³ / 24 m² = 0,125 m

Nyilvánvaló, hogy ennél jóval nagyobb a köré írható gömb sugara, a Pitagorasz-tétellel kiszámolva pontosan: √3/2 m ≈ 0,866 m

~ ~ ~

Oké, most nézzük meg, mi a helyzet egy hosszabb gerenda – négyzet alapú hasáb –esetén. Legyen a gerenda hosszúsága 100 m. Legyen a vastagság 0,1 m.

a = 100 m

b = 0,1m

c = 0,1 m

V = abc = 100 m * 0,1 m * 0,1 m = 1 m³

A = 2ab + 2ac + 2bc = 2 * 100 m * 0,1 m + 2 * 100 m * 0,1 m + 2 * 0,1 m * 0,1 m = 20 m² + 20 m² + 0,02 m² = 40,02 m²

3V / 4A = (3 * 1 m³) / (4 * 40,02 m²) = 3 m³ / 160,08 m² = 0,018 m

(Nyilván egy 100 méter hosszú gerenda köré írt gömb sugara nem 1,8 cm… Két nagyságrenddel kisebb érték jön ki a trükkös képletedből.)

Amúgy a köré írható gömb sugara megint csak Pitagorasz-tétellel kiszámolva: 100,000 099 999 m ≈ 100 m.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A beírható gömb sugarával ugyanez a helyet. Nyilván egy 1 m-es kockába beírható gömb sugara 1 méter. De egy 10*10*1 vagy egy 100*100*1 méteres hasábba beírható gömb sugara is 1 méter. Ahogy növeled az oldalhosszúságot a térfogat és a felszín aránya változni fog, holott a beírt gömb sugara ugyanannyi.

A probléma a szövegértésedben van kérdező.

Egy test bármilyen lehet. A köré írt kör sugara ezer dologtól függhet. Tartok tőle, hogy te kockára gondolsz, amikor testet mondasz. A kocka test, de a test nem feltétlenül kocka.

> Amúgy a köré írható gömb sugara megint csak Pitagorasz-tétellel kiszámolva: 100,000 099 999 m ≈ 100 m.

Elnézést, ennek a fele csak, kb. 50 m.

Ja, nézzünk meg még valamit.

Ugye egy gömb köré írható gömb az maga az eredeti gömb. Egy r sugarú gömb esetén:

V = 4πr³ / 3

A = 4πr²

4V / 3A = (16πr³ / 3) / (12πr²) = 4/9 * r

Tehát a trükkös képlet még egy szabályos gömb esetén sem az r-t, hanem annak még csak a felét sem hozza ki.

Gömb esetén még a 3V / A képlet tökéletes lenne, de nyilván más alakú test esetén nem. Lehet ennek a rosszul megjegyzett és totál félreértett változata ez a 4V/3A?

Van kavarodás! :-)

Induljunk a kályhától:

Minden beírható gömbbel rendelkező test esetén érvényes a következő összefüggés:

V = F*r/3

ahol

V - a test térfogata

F - a test felszíne

r - a testbe írható gömb sugara

A lényeg: beírható gömbbel rendelkező test

A beírható gömb azt jelenti, hogy az a felszín minden lapját érinti.

Tehát három különböző oldallal rendelkező hasáb esetén nem használható, de pl. érvényes kocka, gömb sőt kúp esetén is.

A kérdező által említett "trükkös" képlet egy szabályos tetraéderbe és nem a tetraéder köré írható gömb sugarát adja.

Ugyanis, ha

A - a tetraéder egy lapjának területe

akkor a felszíne

F = 4A

így

V = F*r/3

r = 3V/F

r = 3V/4A

Egy lépéssel tovább menve

Legyen

M - a tetraéder magassága

ekkor a térfogata

V = A*M/3

a sugár képletébe betéve

r = 3(A*M/3)/4A

egyszerűsítés után marad

r = M/4

Gömb esetén

r = 3V/F = [3(4πr³/3)]/4πr² = 4πr³/4πr²

r = r

Kocka esetén

r = 3V/F = 3a³/6a²

r = a/2

Szorgalmi feladat: igazolni, hogy kúp esetén is érvényes az r = 3V/F összefüggés.

Jó munkát!

DeeDee

********