Van 2-3 példa amihez nem tudok neki kezdeni, egyetemi matek?

7. feladat

számoljuk először a v vektort:

v=grad(fi)=(d/dx,d/dy,d/dz)vektor szorozva a fi skalárral

=(dfi/dx,dfi/dy,dif/dz)

=( yz^2+e^(x-y) , xz^2-e^(x-y) , 2xyz)=v

most jön a feladat a) része:

számoljuk ki dr vektort:

dr/dt=az r vektor t szerinti deriváltjával=(2,4,0)

ebből dr-t úgy kapjuk hogy (a matematikusok a szemüket becsukják) átszorzunk dt-vel

dr=(2,4,0)dt

az integrál számítás már könnyű ugyanis a v és dr vektorokat összeszorzod skalárisan és dt szerint kiintegrálod 0-tól 2-ig.

a feladat b) része:

ugye van ez a vektor hogy d=(d/dx,d/dy,d/dz)

a v vektor divergenciája nem jelent mást mint d vektor skalárszorozva v vektorral

a rotáció pedig d vektor vektoriálisan szorozva v-vel

(itt egy kis összefoglaló:

grad(skalár)=d * skalár=vektor

div(vektor)=d * vektor=skalár

rot(vektor)=d x vektor=vektor

ezt fontos megjegyezni)

vissza a feladatra:

div(v)=e^(x-y) + e^(x-y) + 2xy = 2e^(x-y) + 2xy

ha nem számoltam el sehol.

Az előttem válaszoló nagyon szépen leírta az első feladatot. A másodikhoz (3. feladat) ugyanezek az alapok szükségesek, esetleg még annyival egészíteném ki, hogy ha "r" vektor külön nincs megadva, akkor a koordinátái [x;y;z], ilyenkor |r|=gyökalatt(x^2+y^2+z^2).

A d) feladatrészben szerepelnek "i", "j" és "k" bázisvektorok. Ezekkel úgy kell számolni, hogy a térben csak annál a bázisvektor mentén vesznek fel értéket, amelyiknél állnak, pl. j koordinátái ilyenkor [0;1;0], ugyanígy k koordinátái [0;0;1]. (2j esetén meg [0;2;0])

A rotációt az előttem szóló leírta, hogy v vektor rotációja:

rot v = ∇ x v, ahol ∇ (nabla operátor) = [d/dx;d/dy;d/dz]

Tudom, itt elég nehéz ezt átadni, de azért remélem segítettem

Annyi még lemaradt, hogy akkor van potenciálfüggvény, ha a vektortér rotációja 0, azaz

rot v = [0;0;0]

forrásmentes ha: div v = 0

örvénymentes ha: rot v = 0