Elémletileg lehetséges az, hogy a végtelenségig dobálok fel egy pénzérmét, és sose lesz fej?

igen, ha nincs fej a pénzérmén :)

Hagyományos pénzérmével az esély, hogy nem dobsz fejet, 0.5^n szerint tart a nullába, ahogy az első válaszoló írta.

A végtelenségig nem tudod dobálni az érmét. A végtelen nem egy szám, így darabszámként sem értelmezhető, jelen esetben a feldobások darabszámaként sem. A végtelent meg lehet közelíteni határértékként, de az határérték marad. Illetve meg lehet közelíteni halmazelméleti szempontból, ott inkább jelent a végtelen valóban végtelent.

Határértékként értelmezve azt tudjuk mondani, hogy nem tudsz olyan nagy számú feldobást végezni, ahol 0-nál ne lenne nagyobb az esélye annak, hogy minden dobásod írás lesz. Egy millió, egy trillió, egy centillió, egy Graham-számnyi feldobás esetén is 0-nál nagyobb az esélye annak, hogy mindegyik dobásod írás lesz.

Halmazelméleti szempontból itt egy a dobásokból álló végtelen számosságú halmazról van szó. Lehetséges olyan halmazt konstruálni, aminek minden eleme egy írás dobást reprezentál, és végtelen a számossága? Konstruáljuk meg úgy a halmaz elemeit, hogy egy elem a következőképpen áll elő: 2 * dobás sorszáma + (0 ha írás, 1 ha fej). Ergo a páros számok reprezentálják azt, ha írás dobtál, a páratlanok azt, ha fejet dobtál. Ha minden dobásod írás, akkor ez a halmaz a pozitív páros számok halmaza lesz, amely halmaznak a számossága végtelen, és minden eleme páros, azaz írást reprezentál. Tehát van ilyen halmaz, és éppen annyira esélyes, hogy egy ilyen halmazt generáljanak a dobásaid, mint bármilyen másik végtelen halmazt.

Amúgy vicces belegondolni, hogy valójában tényleg mennyire elméleti ez a kérdés.

Ha a látható univerzum teljes tömege varázsütésre ötforintosokká változna, amelyek magukat kezdenék el dobálni egy kieséses vetélkedőn (aki fejre érkezik, kiesik), várhatóan 185 dobás után esne ki az utolsó érme is.

Vagy: ha a Föld felszínét beborítanánk egy négyzetmilliméteres ráccsal, és abból valaki véletlenszerűen kiválasztana egy mezőt, majd te elhajítanál egy gombostűt, aminek a feje pont arra a mezőre érkezne: ez valószínűbb, mint 69 írást dobni egymás után.

> Amúgy vicces belegondolni, hogy valójában tényleg mennyire elméleti ez a kérdés.

Az egész matematika elméleti tudományág. (Sőt bizonyos értelemben nem is tudomány, csak egy eszköz, egy nyelv, egy következtetési rendszer a tudomány kezében.) Pont ez a lényege, tehát ebben semmi meglepő nincs. Ha valaki egy matematikai kérdésre matematikai választ ad, akkor a kérdés is elmélet, a válasznak is annak kell lennie.

> ha a Föld felszínét beborítanánk egy négyzetmilliméteres ráccsal, és abból valaki véletlenszerűen kiválasztana egy mezőt, majd te elhajítanál egy gombostűt, aminek a feje pont arra a mezőre érkezne: ez valószínűbb, mint 69 írást dobni egymás után.

A példa jó, és jól rávilágít az érem – he-he, érted… az érem – másik oldalára. A Föld felszínén 510 100 000 000 000 000 000 ilyen mm²-es rácspont van. Igen, annak az esélye, hogy pont egy adott – előre kiválasztott – mezőt talál el a gombostű feje az 1:510 trillió. Erre lehet azt mondani, hogy „gyakorlatilag” ennek nulla az esélye, de ez nem lenne igaz. Hiszen bármelyik rácspontot megnézzük, annak az esélye, hogy az adott pontot eltaláljuk „gyakorlatilag” ugyanúgy nulla, bármelyik rácspontot is vizsgáljuk meg. Tehát ebből akkor az következne, hogy ha eldobsz egy gombostűt, egyik mezőre sem érkezhet meg, hiszen bármelyikre is érkezne, annak az esélye „gyakorlatilag” nulla. Tehát a gombostűnek vagy lebegnie kellene, vagy eltűnnie. Ezzel szemben az eldobott gombostű mégiscsak le fog esni valahol, egy olyan mezőre, amire nem gyakorlatilag, hanem elméletileg, pontosan 1:510 trillió eséllyel érkezhet meg.

Megint egy más példa. Annak az esélye, hogy a lottón kihúzzák azt az öt számot, amit megtettél, 1:43 milliárd. Pont ugyanennyi az esélye annak, hogy az 1,2,3,4,5 számokat húzzák ki. Viszont pont ennyi az esélye, hogy a 10, 14, 25, 51, 71 számokat húzzák ki. Mégsem kiabált senki csalást, mert a múlt héten pont ezeket a számokat húzták ki, és annak az esélye, hogy pont ezeket a számokat húzzák ki 1:43 milliárdhoz volt. De ha történetesen a 10,20,30,40,50 számokat húznák ki, akkor sokan kiabálnának csalást, pedig annak is pont ugyanennyi az esélye. Itt az emberi elme játszik velünk. Mi mintázatokat látunk, és valahogy a mintázatokat jobban kiemeljük, mint kellene. Ugye egymást követő számokból álló számsorból csak 86 van. Valóban ritkábban húznak ki ilyet, mint egy véletlenszerűnek tűnő számsort, mert ezekből több van. Több esetszám * ugyanannyi valószínűséggel = nagyobb összvalószínűség. De nem 100%. De az 10, 14, 25, 51, 71 számsor ebből csak az egyik 1 eset * ugyanannyi valószínűség = alacsony valószínűség. De nem nulla.

Ezért nem szabad összekeverni a nagyon kis valószínűséget a nulla valószínűséggel. A „gyakorlatilag” nem más, mint csalás, vagy ha úgy tetszik egyszerűsítés, kerekítés, gyakorlatiasság. Igen, a gyakorlatban szabad, sőt adott esetben érdemes és célszerű is csalni. Ha ki akarom számolni, hogy adott sebesség mellett mennyi idő alatt érek el Budapestről Debrecenbe, akkor simán használom a newtoni mechanikát, és nem fogok relativisztikus hatásokkal számolni. Miért nem? Mert a különbség olyan kicsi, hogy mérni, észlelni sem tudjuk. Ergo sokkal célszerűbb használni az amúgy pontatlan newtoni fizikát. Csakhogy itt olyan elméleti kérdésről van szó, aminél a legkisebb kerekítés, elhanyagolás, „gyakorlatilag”-ozás teljesen fals, önmagának ellentmondó következtetésekhez fog vezetni. Lásd a sehova leesni nem tudó gombostű esetét.