Hogyan lehetne ezt megoldani?

Miért nem csinálod meg te?

Mármint: mi a kérdés apropója?

A kivágott körcikk körívének hossza legyen x.

Az alkotó hossza mindenképp R lesz.

A kúp térfogata: V = r^2*pi*m/3

A kúp alapjának a kerülete lesz a körív hossza: 2*r*pi = x

Ebből megvan a sugár: r = x/2/pi

A kúp magassága kijön Pitagorasz tétellel:

r^2 + m^2 = R^2

m = sqrt(R^2-r^2)

behelyettesítjük a térfogatképletbe:

V = x^2 / (4 * pi^2) * pi * sqrt(R^2-(x^2 / (4 * pi^2))) / 3

Ezt deriválod x szerint és ahol nulla, ott lesz szélső értéke.

V'(x) = 0

A wolframalpha szerint x = 2*sqrt(2/3)*π*R lesz az egyetlen értelmes megoldás, ami a kör kerületének a 81%-a.

Nem ellenőriztem, szóval az esetleges hibákért bocs.

Legyen a sugarak hajlásszöge Ł, ekkor a körcikk körívének hossza 2*R*pí*Ł/360°, ez megegyezik az alapkör kerületével. Ha az alapkör sugara r, akkor

2*R*pí*Ł/360°=2*r*pí, vagyis R*Ł/360°=r.

Az alapkör sugara, a testmagasság (M) és a kúp alkotója derékszögű háromszöget alkotnak, ahol az alkotó az átfogó, tehát

R^2 = (R*Ł/360°)^2 + M^2, ezt M-re rendezve:

R^2 = R^2*Ł^2/129600° + M^2

R^2*(1-Ł^2/129600°) = M^2

R*gyök(1-Ł^2/129600°) = M

Így már minden adott, hogy felírjuk a kúp térfogatát:

T=(R*Ł/360°)^2*pí*R*gyök(1-Ł^2/129600°)/3

Ezt deriváljuk a szög szerint:

[link] (itt az Ł szöget lecseréltem x-re, hogy egyszerűbb legyen deriváltatni).

A függvény értelemszerűen a [0;360] intervallumon van értelmezve, tehát nekünk az a megoldás kell, amelyik ebbe az intervallumba esik bele. Ilyen van is: x=120*gyök(6).

Mivel a térfogatfüggvény egyébként folytonos a (0;360) intervallumon, és csak egy helyen zérus a deriváltja, ezért csak azon az egy helyen, valamint az értelmezési tartomány két végpontjában lehet valamilyen szélsőértéke; Ł=0 és Ł=360° esetén 0 lesz (ezt egyébként sem nehéz kitalálni), Ł=120*gyök(6) esetén:

[link]

Ha nem számoltam el semmit, akkor ez lesz a maximuma a kúp térfogatának R függvényében.

Az ellenőrzés lehetősége ma is adott:

[link]

#3 -nak!

Számolással én is a te eredményedet kaptam. Úgy néz ki, hogy az ellenőrzésnek szánt ábrámban lehet most a hiba.

Üdv: #4