Az {an} növekvő számsorozatról tudjuk, hogy bármely két szomszédos tagjára teljesül az aranymetszés, vagyis a kisebbik tag úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint a nagyobbik a két tag összegéhez. (? )

e < f (pozitív) számokra teljesül az aranymetszés:

> f/e = (e+f)/f

Azt szeretnéd belátni, hogy f/e -t már meghatározza ez a feltétel, azaz f/e konstans (ha megnézed, minden kérdés lényegében ez.

Bevezetsz egy új változót f/e-re, kondjuk Y.

Ekkor Y-ra teljesül az elõbbi egyenletem, sõt, ami fontosabb: nincsen benne e vagy f! (valójában ez annak köszönhetõ, hogy az elõzõ egyenletem homogén, azaz ha (e0,f0) párra teljesül az egyenlet, akkor (e0*c,f0*c) párra is teljesül, tetszõleges c nemnulla konstanssal.)

> Y = 1/Y + 1

Másodfokú egyenletre vezet, az egyik megodása pozitív, tehát f/e értéke következik abból hogy (e,f)-re teljesül az egyenlet, tehát bármely két egymás utáni sorozatelemre ugyanannyi, tehát mértani sorozat és ez a hányadosa.

Ennél azért sokkal precízebben _kéne_. Ez csak mese volt.

Egy bizonyítás ("Lássuk be, hogy") kb így néz ki:

Két esetre bontom

I) a0>0.

Ekkor a1>=a0 (monoton növekvési feltétel), így

> Y = a1/a0 = (a0+a1)/a1 = 1/Y + 1.

Megoldva, Y lehet 1.62 vagy -0.62.

Utóbbi nem jó a monotonitás miatt, tehát

> a1 = Y*a0 = 1.62*a0.

Ez tetszõleges an, a_(n+1) -re elmondható => mértani sorozat, q= 1.62 hányadossal.

II) a0<0

Eleje mint elõbb.

Y = 1.62 nem jó a monoton növés miatt, tehát Y = -0.62

a1=-0.62*a0

a2 = 1.62*a1

==> Ez nem mértani sorozat, a feladat állítása hibás.

Valami ilyet várhatnak el tõle, hogy adja vissza, írja le vagy mondja el. Persze csak azért, hogy képes legyen erre, és nem azért, mert ez "jobb".