Hogyan lehetne ezt ábrázolni?

u⋅4^x + v⋅9^x = 6^x

u⋅(2^x)^2 + v⋅(3^x)^2 = 2^x⋅3^x /:(2^x⋅3^x)

u⋅(2/3)^x + v⋅(3/2)^x = 1

Legyen y=(2/3)^x (ha x valós, akkor y>0)

u⋅y + v⋅1/y = 1

u⋅y^2 - y + v = 0

Ennek akkor van megoldása, ha a diszkrimináns nemnegatív. Továbbá legalább az egyik gyök pozitív kell, hogy legyen. Innen megy?

Ugye a másodfokú egyenlet általános alakja: ax² + bx + c = 0. Remélem, a megoldóképletet ismered. Annak a gyök alatti része a diszkrimináns: D = b² - 4ac. A másodfokú egyenletnek akkor van megoldása, ha ez nemnegatív, tehát b² - 4ac ≥ 0.

Viéte-formulák:

x1 + x2 = -b/a

x1 ⋅ x2 = c/a

Nézzük meg a diszkriminánst erre az egyenletre: u⋅y² - y + v = 0. Ebben a=u, b=-1, c=v. Ezeket a diszkriminánsba helyettesítve:

(-1)² -4⋅u⋅v ≥ 0 /+4uv

1 ≥ 4uv /:4u

1/4u ≥ v vagy v ≤ 1/4u

Ha ez nem u és v betűvel lenne felírva, hanem x-szel és y-nal, és még a kacsacsőrt is elhagynánk: y = 1/4x. Ez pedig nem más, mint egy hiperbola-függvény. A kacsacsőr miatt viszont a hiperbola görbéje és a görbe alatti rész a megoldás.

Most nézzük meg mi kell ahhoz, hogy legalább az egyik gyök pozitív legyen, másképp mondva nem lehet mindkét gyök negatív. Ehhez a Viéte-formulákat lehet használni. Ha mindkét gyök negatív, akkor a gyökök összege negatív és szorzata pozitív:

y1 + y2 < 0 ⇒ 1/u < 0 ⇒ u < 0

y1 ⋅ y2 > 0 ⇒ v/u > 0 ⇒ v < 0

Tehát ha u és v is negatív, akkor mindkét gyök negatív, ami nem jó, tehát u és v közül legalább az egyiknek pozitívnak kell lennie. Figyelembe véve a hiperbolát is, a megoldás a v = 1/4u hiperbolánk az u>0 értékekhez tartozó ága és a görbe alatti rész.