Hogyan kellene ezt megoldani?

1. Értelmezési tartomány.

2. Logaritmussal szórd meg az egyenletet.

Az exponenciális függvényt csak nemnegatív alappal értelmezzük, mivel negatív szám törthatványát nem tudjuk értelmezni valósban. Tehát azt mondjuk, hogy x>=0, de mivel a jobb oldalon 1/x van, ezért x nem lehet 0, tehát csak x>0-val foglalkozunk.

Szorzunk x-szel; mivel x pozitív, ezért a reláció megmarad:

x^(2sin(x)-cos(2x)+1)<1, ezt átírjuk úgy, hogy

x^(2sin(x)-cos(2x)+1)<x^0

Itt most külön kell szednünk aszerint, hogy a hatvány alapja milyen; ha 0<x<1, akkor a kitevőnek pozitívnak kell lennie, vagyis

2sin(x)-cos(2x)+1>0, ezt elvileg már meg tudod oldani. Én most lusta vagyok, és beírom WolframAlphába:

[link]

A megoldást a "Real solution" alatt találod. De ezzel még nem vagyunk kész, mivel az elején azt mondtuk, hogy 0<x<1, tehát még meg kell keresni a megfelelő n-eket, tehát

0<2*pí*n<1, tehát 0<n<1/2pí, ebben nincs egész megoldása, tehát ebben az esetben nincs megoldás.

A másik megoldás az, amikor x>1, ekkor a kitevőnek negatívnak kell lennie:

2sin(x)-cos(2x)+1<0, WolframAlphával:

[link]

Ismét a "Real solutions" alatt találod a megoldásokat. Ugyanúgy kell eljárnunk, mint az első esetben:

1) 2*pí*n>1, vagyis n>1/(2*pí)

2*pí*n-pí/2>1, vagyis n>1/(2pí)+1/4, tehát n>=1 egész n-re megkapjuk a megfelelő x-eket.

2) 2*pí*n-pí/2>1, vagyis n>1/(2*pí)+1/4

2*pí*n>1, vagyis n>1/(2*pí), tehát itt is minden pozitív egész n jó x-et fog adni.

Ezzel minden megoldását megadtuk az egyenlőtlenségnek.

Nyílván egyszerűen meg lehet oldani logaritmussal is, ha vesszük mindkét oldal logaritmusát, ekkor u.is:

(2sin x-cos 2x)*ln(x)<-ln(x).

Tegyük fel, hogy ln(x)=/=0, ekkor:

(2sin x-cos 2x)+1<0.

Ez már egyszerű elemi módszerekkel megoldható.

Meg kell vizsgálni még a kizárt esetet is.

A végső megoldás a két eset megoldásainak úniója.