Van-e olyan 10-nél nagyobb háromszögszám, amelynek négyzete egyenlő tetszőleges számú, rákövetkező háromszögszámok összegével?

Kezdd azzal, hogy H(n) = n(n+1)/2.

Aztán a H(n+1) + ... + H(n+k) = k*H(n) + (n+1) + (n+2) + ... + (n+k) = k*(H(n)+n) + H(k).

Ezután helyettesítsd be a H-kat az első sor alapján, majd rendezz. Nekem ez jön ki:

n^4 + 2n^3 + (1-2k)n^2 - 6kn + 2k^2 + 2k = 0.

Ez egy negyedfokú egyenlet n-ben és másodfokú k-ban. Tehát én a másodfokú k megoldóképletét írnám fel.

Ahhoz az egyenlet:

2k^2 + (2n^2 + 6n + 2)k - (n^4 + 2n^3 + n^2) = 0

Ezzel már "csak" annyi a dolgod, hogy belásd, hogy a képlet egész n>4 esetén nem adhat egész értéket. Gondolom ezt valahogy úgy lehet majd belátni, hogy a diszkriminánsról (gyökjel alatti részről) bebizonyítod, hogy nem lehet négyzetszám. Emelj ki belőle egy négyzetes kifejezést, ha tudsz, és a maradékről remélhetőleg már könnyű belátni.

Remélem nem vétettem hibát a másodfokú egyenlet felírásában, de azért csináld végig újra, sose lehet tudni.

Hajrá, és írj, ha sikerült!

Teljesen igazad van. Nem pont az a képlet jött ki nekem, amit felírtál, de elég hasonló (géppel ábrázoltattam mindkettőt). A tied a példádra, n=4, k=4-re nem teljesül.

A H(i) sorozatból képzett sor legyen T(i), ami egy kis utánaolvasás után T(i) = i(i+1)(i+2)/6. Itt van rá egy induktív bizonyítás: [link] és tetraéderszámoknak hívják őket.

Tehát a feladat:

T(n+k) - T(n) = H(n)^2, azaz

(n+k)(n+k+1)(n+k+2)/6 - n(n+1)(n+2)/6 - (n(n+1)/2)^2 = 0

Ez sajnos negyedfokú n-ben és harmadfokú k-ban, egyszerűsítés lehetősége nélkül. Tehát teljesen reménytelen, hogy izomból oldjuk meg. Attól tartok, hogy itt valami számelméleti ügyeskedésre lehet szükség. Honnan van a feladat, mennyire lehet nehéz? Csíkos feladatgyűjtemény vagy matematikai diákolimpia?

Ja jó, látom az eredeti k-ról áttértél m-re.

Honnan van a feladat? Hol találtad?