Lehetséges tizedes tört prím szám?

Számelméleti értelemben valós/racionális számok körében a 0 kivételével minden szám egység (azaz bármelyik másik számnak osztója), tehát nincsenek prímek.

Az n/10 alakú számok köre (ahol n egész) pedig nem zárt a szorzásra nézve, tehát ezért nem jó.

A racionális számok halmaza zárt az alapműveletekre, de nincsenek benne prímek. 6,9 = 69 * 0,1.

Hasonló a helyzet a valós, a komplex számok vagy az algebrai számok halmazán.

A testek a számelmélet szempontjából nem izgalmasak. Minden egység.

Na, hogy egy kis örömünk is legyen az életben.

Nézzük az a + b*gyök(2) alakú számok gyűrűjét, ahol a és b egészek.

Ebben igaz a számelmélet alaptétele (lásd Freud–Gyarmati* 10.3.5-ös tétel), tehát itt minden felbonthatatlan szám prímszám. Ebben a számkörben például a 2 + gyök(2) normájának abszolút értéke 2, tehát csak 1 vagy 2 normájú elem oszthatja, így felbonthatatlan, és az előbbiek miatt prím is.

Szóval a lényeg: az a + b*gyök(2) alakú számok körében a 2 + gyök(2) PRÍM.

*Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2000, ISBN 963 19 0784 8

Közben gondolkoztam, és rájöttem, hogy buta vagyok.

A véges tizedes törtek számköre nagyon egyszerű példa, hiszen ott csak annyi történik az egészekhez képest, hogy a 2 és az 5 (és akkor ezek hatványai, szorzatai, -1-szeresei is) egységek lesznek, mert bármelyik számot elosztva 2 valamelyik hatványával egy véges tizedes törtet kapunk. (És ugye egy véges tizedes tört felírható x*10^n alakban, ahol x és n egészek. x prímtényezős felbontása az egészek körében egyértelmű – ezt még egy általános iskolásnak is tudnia kellene, x*10^n prímtényezős felbontása meg ugyanez lesz, csak a 2-esek, 5-ösök és a 10^n a végén nem számít, mert ezek egységek. Tehát a számelmélet alaptétele is igaz.)

Szóval véges tizedes törtek körében például a 3 prím, és ugyanígy prím ennek bármelyik egységszerese is, például a 2^(-1)-szerese, vagy a -2*5^(-2)-szorosa az 1,5 illetve a -0,24.

A 60,9 prímtényezős felbontása így

3*7*29*10^(-1) lesz, de ez ekvivalens például azzal, hogy

(-6)*(3,5)*(-2,9).

(Ahogy a 6 prímtényezős felbontását is írhatjuk 1*(-3)*(-2)*1*(-1)^8 alakban az egészek körében. Csak nem szoktuk, de ha az egységszorzóktól eltekintünk, akkor egyértelmű, hogy egy 2-es és egy 3-as kell bele.)