Hány olyan 1-nél kisebb pozitív törtszám van, amelynek nevezője 144, és nem egyszerűsíthető?

Legyen a törtünk n/144, ahol 0<n<144. Abban az esetben egyszerűsíthető a tört, ha n-nek és a 144-nek van közös osztjója. Írjuk fel a 144-et prímtényezők szorzatára:

144=2*2*2*2*3*3

Vagyis csak arra kell ügyelnünk, hogy n se 2-vel, se 3-mal ne legyen osztható.

1-től 143-ig 143 szám van, ebből akár a számtani sorozattal is kiszámolható, hogy hány 2-vel, illetve 3-mal osztható van:

a[1]=2, d=2, a[n]=142

a[n]=a[1]+(n-1)*d, vagyis

142=2+(n-1)*2, innen n=71, tehát 71 2-vel osztahtó szám van.

b[1]=3, d=3, a[n]=141

b[n]=b[1]+(n-1)*d, vagyis

141=3+(n-1)*3, innen n=47, tehát 47 3-mal osztahtó szám van.

Tehát 71+47=118 2-vel vagy 3-mal osztható számot számoltunk meg. Igen ám, de ebben 2-szer számoltuk azokat, amik mindkettővel oszthatóakm vagyis 6-tal. Ezeket ki kell vonnunk;

c[1]=6, d=6, c[n]=138

c[n]=c[1]+(n-1)*d, vagyis

138=6+(n-1)*6, innen n=23, tehát 23 6-tal osztahtó szám van, így összesen 118-23=95 olyan szám, ami osztahtó 2-vel és/vagy 3-mal.

Tehát a 143 számból 143-95=48 olyan van, ami nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, vagyis n 48 különböző szám lehet.