Hogyan kellene megoldani?

1. Könnyen látható, hogy a háromszög nem két újabb háromszögre bomlik, mert ekkor a területet felező egyenes a súlyvonal lenne, ami azonban nem felezi a kerületet.

Ekkor viszont egy háromszög és egy négyszög jöhet csak létre, és elvileg három eset jöhet szóba aszerint, hogy melyik korábbi csúcs alkotja majd a kisebb háromszög egy csúcsát. Ha ez a derékszögű csúcs lenne, akkor a 3 hosszúságú oldalból x-et és a 4 hosszúságúból y-t véve az új hárimszög területe 3 kell legyen, azaz x*y/2=3, vagyis x*y=6. Emellett annak is kéne teljesülnie, hogy x+y=6. Ezen egyenletrendszer azonban olyan megoldásra vezet, ahol x vagy y 4-nél nagyobb lenne, vagyis ez nem lehetséges.

Mi van akkor, ha a leghegyesebb szög (legyen ez alfa) alkotja az új háromszög csúcsát is? Ekkor ennek a háromszögnek a területe x*y*sin(alfa)/2=3, ahol sin(alfa)=3/5=0,6. Továbbá x+y=6, és ebből a két egyenletből egy olyan másodfokú egyenlet adódik, amelynek nincs valós megoldása.

Marad tehát az a verzió, hogy a csúcs a beta csúcs lesz, vagyis a 4 hosszú oldallal szemközti. Ekkor a kis háromszög területe: x*y*sin(beta)/2=3, ahol sin(beta)=4/5=0,8. A másik egyenlet megint csak x+y=6. Az egyenletrendszer megoldása:

x = 3+gyök(3/2) és y=3-gyök(3/2).

Értelemszerűen x csak az 5 hosszú oldalon helyezkedhet el, y pedig a 3 hosszúságún. Ezek a szakaszok kijelölik az egyenes háromszöggel való metszéspontjait.

2. Ez gyorsabban megoldható. Mivel x<y<z, ezért 3^x-n kiemelhető, azaz írható, hogy

3^x+3^y+3^z=3^x*(1+3^(y-x)+3^(z-x))=179415

Azaz 179415 felbontható egy 3-mal osztható és egy 3-mal osztás után 1 maradékot adó számra. Vagyis elkezdjük 3-mal osztani a 179415-öt addig, amíg tudjuk:

179416 = (3^4)*2215, , azaz x=4, és itt most

2215 = (1+3^(y-x)+3^(z-x)), vagyis 1-et levonva a feladatot visszavezettük a

3^(y-x)+3^(z-x)=2214 feladatra, amit ugyanígy oldunk meg:

3^(y-x)*(1+3^(z-y))=2214, amiből kapjuk, hogy y-x=3, vagyis y=7, végül pedig

1+3^(z-y)=82-ből

z-y=4, vagyis z=11 adódik.

Tehát x=4, y=7, z=11 a megoldás.