Melyik a nagyobb?

Számolgatom egy idelye, és szerintem nézük arányaiban:

A= 2 a 3 = 8

B= 3 a 2 = 9

_______________

A= 22 a 33 =199502557355935975909450298726667414302359552

B= 33 a 22 =2554504530844906743628446504951489

_________________________________________

Eleinte a B a nagyobb, viszont kis időn belül az A megelőzi.

Az első. Könnyű megmutatni.

333^222 = (222+111)^222 = [a hatványozás elvégzésével] 222^222 + 111^221*222+... Itt az első tag a legnagyobb, a többi ennél kisebb (mert kisebb a hatvány is, és a szorzó is). A tagok száma (kiszámolhatnám, de minek) nem lesz olyan nagy, hogy annyi összeadandó akár néhány nagyságrenddel növelje az eredményt. Tehát a 222^333 = 222^111*222^222 sokkal nagyobb.

Tehát a feladat:

a=222^333 ? b=333^222

Vegyük mindkét szám 10-es alapú logaritmusát:

lg(222^333) ? lg(333^222)

Az azonosság miatt

333*lg(222) ? 222*lg(333)

Számológéppel kiszámolhatóak az lg-k, így kapjuk:

~781 ? ~556

Erről már el tudjuk dönteni, hogy 781>556, és mivel az egyenlőtlenségben ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a bal oldal lesz végig a nagyobb, tehát 222^333>333^222, így a>b.

Előzőbe bekapcsolódva:

333*lg(222) ? 222*lg(333)

Számológéppel kiszámolhatóak az lg-k, így kapjuk:

~781,33 > ~559,98

tehát az a 782, a b 560 jegyű szám.

Általánosan, ha y>x és mindkettő nagyobb mint "e" (=2,718...) akkor x^y > y^x, a nagyobb kitevő "győz",

hiszen az f(x)=lg(x) sokkal lassabban nő mint f(x)=x.

Vagy számológép használata nélkül:

222^333 = 333^333*(222/333)^333 > 333^333*(1/2)^333 >

= 333^222*333^111*(1/2)^333 > 333^222*333^111*(1/10)^111

= 333^222*33,3^111 > 333^222*1^111 = 333^222