Ért valaki az ilyen feladatok megoldásához?

5. Feladat

a) -3x ≡ 1 (mod 5) --> Keressük -3 inverzét (mod 5). -3 ≡ -15 és -15/-3 = 3, így -3 inverze 3. Egy szám és inverzének szorzata 1: (-3)*3=-9≡-4≡1 (mod 5). A megoldás tehát x≡3 (mod 5).

b) 9x≡4 (mod 12). Először 9 inverzét kellene megtalálnunk. Mivel mod 12-ben járunk, 12 nem prímszám és 9-nek és 12-nek van közös osztója (pl. 3) - vagyis nem relatív prímek - ezért 9-nek nincs inverze mod 12-ben. A b) feladat megoldása tehát nem létezik.

6. Feladat

Először oldjuk meg külön-külön az első kettő, majd a második kettő egyenletet:

I. 3x≡1 (mod 4) II. 2x≡3 (mod 5)

Az első egyenlet megoldása x ≡ 3 (mod 4), mivel 3 inverze 3 (mod 4). A második egyenlet megoldása pedig: Mivel 2 inverze 3 (mod 5), ezért megszorozzuk mindkét oldalt 3-mal.

Bal oldal: 2*3 az 1 mivel szám és inverzének szorzata 1, marad a bal oldalon: x.

Jobb oldal: 3*3=9≡4 (mod 5). Tehát x≡4 (mod 5).

Hasonló módszerrel a III. egyenlet megoldása 6 mod 7, a IV. egyenlet megoldása 5 mod 9. Most újabb négy (egyszerűbb) egyenletünk van:

I. x ≡ 3 mod 4 II. x ≡ 4 mod 5

III. x ≡ 6 mod 7 IV. x ≡ 5 mod 9

Most egyszerűen kell eljárnunk: Megint kettesével oldanám meg az egyenleteket (így egyszerű). Addig adunk 3-hoz 4-et és 4-hez 5-öt, amíg ugyanazt a számot nem kapjuk. Az eredmény 19 mod 20. Azért 20, mert 5 és 4 legkisebb közös többszöröse 20.

A második két egyenlet megoldása: 41 mod 63.

Így tehát marad 19 mod 20 és 41 mod 63 megoldása. Ez 419 mod 1260. A legelső 4 egyenlet legkisebb közös többszörösét kell megtalálnunk. [4,5,7,9]=2160. A végső megoldás tehát: 419 mod 2160.

A többi feladat megoldására még nem vagyok képes, sajnálom. Örülök hogy segíthettem.