Masodfoku fuggveny? (? )

Az elsőnél:

a=1

b=5

c=6

Deltát számolsz, melynek képlete: b²-4*a*c , tehát

Δ = 5²-4*1*6 =

= 25-24 =

= 1

-> x1 = ( b -√Δ )/2*a = (5-1)/2 = 4/2 = 2

-> X2= ( b + √Δ )/2*a = ( 5+1 )/2 = 6/2 = 3

A másodiknál összeszorzod a két zárójelt és lesz: x²-3x+2

Hasonlóképpen deltát számolsz és elvégzed a számításokat a fent megadott képletek szerint.

A harmadiknál

x⁶-2x³-8=0

Itt jelölöd az x³ -t egy “ t “ betűvel mondjuk. Behelyettesíted a “ t “ –t a képletbe és lesz:

t²-2t-8=0

a=1 , b=2 , c=-8

Δ = b²-4*a*c= 4-(-32) =4+32=36

t1=(-b+√Δ)/2*a=8/2=4

t2=(-b-√Δ)/2*a=-4/2=-2

Ezután visszahelyettesítés következik:

t=4 -> x= ³√4

t=-2 -> x=-³√2

A hatványfüggvények - mint nevük mutatja - olyan függvények, amelyekben valamilyen hatványok szerepelnek. Közülük a legmagasabb határozza meg a függvény "fokát".

Speciálisan egy másodfokú függvényben tehát lehet másodfokú, elsőfokú, és nulladfokú (azaz konstans) tag, vagyis az alakja ax^2+bx+c, ahol a,b,c számok. Ha egy kifejezés nem ilyen (például művelet van előírva) akkor a kijelölt műveleteket el kell végezni, majd a fokok szerint csökkenő sorrendbe rakni (azonos fokú változókat összevonni). Ha a gyökeit keressük (egyenletté tesszük,ahol a másik oldalon nulla áll), akkor a megoldóképlettel számoljuk ki.

Magasabb fokú függvényeknél megvizsgálhatjuk, hogy nem lehet-e helyettesítéssel másodfokúra alakítani. A 3. példában y=x^3 helyettesítéssel az bekövetkezik. Ha megvan a másodfokú eredmény, utána még köbgyököt kell vonni, hogy az eredeti kérdésre válaszolhassunk.

Szorzat akkor 0, ha valamelyik tag 0

1.

(x-2)(x-3)=0

X1=2, x2=3, mert ezen két esetben lehet a szorzat 0

2.

X1=1, x2=2, mert ezen két esetben lehet a szorzat 0

3. x a 3.-on helyére a-t írva:

anégyzet-2a-8=0

(a+2)(a-4)=0

a1=-2, a2=4, mert ezen két esetben lehet a szorzat 0

ha a1=-2, akkor x1=köbgyök(-2)

ha a2=4, akkor x2=köbgyök4

A fentiekből láthatóan egyik esetben sincs szükség másodf. megoldóképletre.

Az elsőnél kell egy szorzattá alakítás meg a harmadiknál is, a második úgy használható ahogy van, a harmadiknál kell csak plusz egy lépésként egy behelyettesítés új változó bevezetésével.

Ennyi.

#3 - Nálunk az osztályban mindig a lehető leghosszabban kellett kifejteni a megoldást, ezt a reflexet sajnos még magammal hordozom.

Remélem azért senkit nem izzasztott meg a néhány plusz sor.

A matekban az a jó, hogy nagyon sok megoldás létezik. Mindenki olyat tud magának választani, amilyet csak akar.

Erre itt láttunk kettőt. Szorzattá alakítás vagy másodfokú megoldó képlet? Én azt mondom, hogy amelyiket előbb meglátod a feladatban!

Amennyiben a szorzattá alakítást egyáltalán nem látod, megosztok veled néha a szorzattá alakítási tippet, ami elég gyorsan megy és elég mechanikus, amennyiben az x^2-es tag együtthatója 1. Ezért a szorzattá alakításhoz van néhány tippem, remélem nem gond, ha megosztom. Lehet, tetszeni fog.

[ 1. tipp ]:

Amennyiben az x^2-es tag együtthatója 1, és nem látjuk meg benne a teljes szorzatot ...

x^2 - 5x + 6

Keressük azokat a számokat, ahol

a két szám összege az x-es tag együtthatója: // -5

a két szám szorzata a szabad tag: // +6

ez a két szám: // 1, -6, tehát: (ezt néhány példa megoldása után készség szinten jön)

x^2 - 5x + 6 =

= (x + 1)(x - 6)

[ 2. tipp ]:

Amikor nem látjuk elsőre az összeg és a szorzat alakokat az együtthatókban, valamint az x-es tag együtthatója páros (és négyzetes tag együtthatója 1).

Észrevesszük a "teljes négyzetet" ("a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2"), majd korrigálunk a maradék, mínuszos tag gyökével az "a^2 - b^2 = (a + b )(a - b)" képlettel.

A fenti feladatban erre könnyen számítható példa, ezért: vegyük alapul ezt: x^2 - 20x + 91

(x^2 - 20x + ??) ebből lesz a teljes négyzet?

(x - 10)^2 = (x^2 - 20x + 100) // mivel a 100 nincs benne az eredeti kifejezésbe, ezért azt kivonjuk, remélve, hogy ezzel egy negatív számot kapunk!

x^2 - 20x + 91 =

= [ x^2 - 20x + 100 ] - 100 + 91 =

= (x - 10)^2 - 100 + 91 =

= (x - 10)^2 - 9 =

= (x - 10)^2 - 3^2 =

= (x - 10 + 3)(x - 10 - 3) =

= (x - 7)(x - 13)

Ha ezt begyakorlod gyorsabban is mehet:

x^2 - 20x + 91 = // x-es tag felének a négyzetét levonom a teljes négyzet beillesztése után

= (x - 10)^2 - 100 + 91 =

= (x - 10)^2 - 9 = // fejben látszik, hogy a 9 = 3^2, ezért a 3-at levonom, és hozzáadom a teljes négyzetben szereplő szorzatokhoz

= (x - 7)(x - 13)

[ 3. tipp ]:

Persze lehet, hogy nem kapunk szép eredményt, mert gyökös szám lesz ott, de ekkor is tudunk vele operálni:

x^2 - 20x + 93 =

= [ x^2 - 20x + 100 ] - 100 + 93 =

= (x - 10)^2 - 100 + 93 =

= (x - 10)^2 - 7 = // hétnek nincs egész gyöke, ezért gyök[7]-el számolunk tovább

= (x - 10)^2 - gyök[7]^2 =

= (x - 10 + gyök[7])(x - 10 - gyök[7])

Mivel egy szorzat értéke 0, ha valamelyik tényezője nulla, ezért az x-ből kivont érték negatívja lesz a másodfokú egyenlet két gyöke.

Valóban, elég sok gyakorlás után automatikussá válik a megoldás, miután rutinból felismered a feladattípust, előveszed az ismert sémát és onnantól kézimunka.

Épp azok a jó feladatok, ahol agymunka kell a megoldási módszer megtalálásához.